Topología
Topología Algebraica $\rightarrow$ |
Espacio topológico
Es una pareja $(X, \mathcal{T})$ donde X es un conjunto, y $ \mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$ es una familia de subconjuntos de X, donde $\mathcal{P}(X) = \{ U \ : \ U \subseteq X \}$ es el conjunto de partes de X.
Llamamos abiertos a los elementos de la topología $O \in \mathcal{T}$. El conjunto $\mathcal{T}$ tiene que cumplir las siguientes propiedades:
- $\emptyset , X \in \mathcal{T}$ contiene al vacío y al total
- $\displaystyle \bigcup _{i \in I} O_i \in \mathcal{T}$ La unión numerable de abiertos pertenece a la topología
- $O_1 \cap O_2 \in \mathcal{T}$ La intersección finita de abiertos pertenece a la topología
Se llaman cerrados a los complementarios de los abiertos $F = \overline{o} = X \setminus O$.
Base de una topología
Se llama base al subconjunto de la topología $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$ que aplicando uniones numerables se puede reconstruir la topología, cuidado que no se pueden hacer intersecciones para obtenerla. $$ \forall O \in \mathcal{T} \, , \ \exists I \ : \ O = \bigcup_{i \in I} B_i \, , \ B_i \in \mathcal {B} $$
Entornos de x
Son subconjuntos de X que contienen a un abierto con x en él, es decir $x \in O \subseteq U_x \subseteq X $. Los entornos son a las partes de X, como los abiertos a la topología, es decir $\begin{matrix} U_x \in \mathcal{P}(X) \\ O \in \mathcal{T} \end{matrix} \ ; \ \begin{matrix}\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X) \\ O \subseteq U_x \end{matrix}$
Se llaman base de entornos de x a todos los entornos que contienen a x $\mathcal{U}_x = \{ U_x \ : \ x \in U_x \subseteq X \}$ $$$$
Equivalentemente: $\forall O \in \mathcal{T}\, , \ \forall x \in O \, , \ \exists B \in \mathcal{B} \, : \, x \in B \subseteq O$ (Para cada elemento de cada abierto, encontramos un conjunto de la base que contiene al punto y está contenido en el abierto)
Tipos de topología
Cuando no se habla de conjuntos concretos, los distintos tipos de conjuntos $X$ los podemos interpretar como los más representativos: finitos $A = \{a,b,c\}$, Numerables $\Bbb{N}$, No numerables $\Bbb{R}$ y de varias dimensiones $\Bbb{R}^2$ y $\Bbb{R}^3$.
Topología trivial (indiscreta)
Es la más pequeña, solo el vacío y el total: $$\mathcal{T_{ind}} = \{\emptyset, X \}$$
Topología discreta
Es la más grande, tiene todo: $$\mathcal{T_{dis}} = \mathcal{P}(X)$$ Por lo tanto $\mathcal{T_{ind}} \subseteq \mathcal{T} \subseteq \mathcal{T_{dis}}$
Topología producto
Es la pareja de topologías, $(X, \mathcal{T}) = (X_1, \mathcal{T}_1) \ast (X_2, \mathcal{T}_2) = (X_1 \ast X_2, \, \mathcal{T}_1 \ast \mathcal{T}_2)$ donde $\mathcal{T}_1 \ast \mathcal{T}_2 = \{ (O_1, O_2) \ : \ O_1 \in \mathcal{T}_1 \cap O_2 \in \mathcal{T}_2 \}$ se coge un elemento del primero, y se cruza con todos los del segundo, como $\Bbb{R}^2 = \Bbb{R} \ast \Bbb{R}$
Topología inducida (de subespacio o heredada)
Sea $A \subseteq X$ un subconjunto de un espacio topológico $(X, \mathcal{T})$, la topología inducida sobre A es $(A, \mathcal{T}_A)$ definida por los abiertos del espacio quitándole los elementos que no están en A $$\mathcal{T}_A = \{ O \cap A \ : \ O \in \mathcal{T} \}$$
Topología usual de $\Bbb{R}^n$
Es la que tiene por base las bolas $B_r(p) = \{ p \in \Bbb{R}^n \ : \ |x-p|_2 < r \}$ de centro p y radio r: $$\mathcal{B_{usu}} = \{ B_r(p) \ : \ x \in \Bbb{R}^n, r \in \Bbb{R}^+ \}$$ Y sus abiertos son intervalos en $\Bbb{R}$ (no necesariamente con extremos finitos), y cadenas de bolas (como dragones) conexas en $\Bbb{R}^2$ y $\Bbb{R}^3$, aunque los conjuntos convexos que salen como intersección de varias bolas también pueden ser eslabones.
Relación de equivalencia
Dado un conjunto X, se dice dice que dos puntos $x, y \in X$ están relacionados por $xRy$ si cumplen las propiedades
- Reflexiva $\forall \, x \in X \ : \ xRx$
- Simétrica $\forall \, x, y \in X \ : \ xRy \Rightarrow yRx$
- Transitiva $\forall \, x, y \in X \ : \ xRy \, \wedge \, yRz \Rightarrow xRz$
Se llaman clases de equivalencia al conjunto relacionado con el elemento a $[a] = {x \in X \ : \ xRa}$
Se llaman conjunto cociente al conjunto de las distintas clases de equivalencia $\frac{X}{R} = \{ [x] \ : \ x \in X\}$
Topología cociente
Sea R una relación de equivalencia sobre X. Sea $p= [x] : X \longrightarrow \frac{X}{R}$ la aplicación proyección, se define la topología cociente como los abiertos del cociente que se corresponden con un abierto en la topología inicial $$\frac{\mathcal{T}}{R} = \left\{O_{[x]} \subseteq \frac{X}{R} \ : \ p^-(O_{[x]}) \in \mathcal{T} \right\} = \left\{O_{[x]} \subseteq \frac{X}{R} \ : \ \bigcup_{[x] \in O_{[x]}} x = O_x \in \mathcal{T} \right\}$$
Operaciones con Subconjuntos
Sea $A \subseteq X$ un subconjunto de $X$, es decir $A \subseteq X \ \equiv \forall a \in A \Rightarrow a \in X$ todos los elementos de A también están en X. Y su complementario lo notamos por $A^C = X \setminus A$. Nombro $O_x$ a los abiertos de $\mathcal{T}$ que contienen al punto a $x \in O_x \in \mathcal{T}$.
Tenemos las dos topologías $(X, \mathcal{T})$, $(A, \mathcal{T}_A)$Se pueden obtener los siguientes conjuntos a partir de $A$.
Interior $\stackrel{\ \circ}{A}$
El interior de un conjunto está formado por los abiertos de $\mathcal{T}$ que están contenidos en A. Equivalentemente, por los puntos contenidos en abiertos que no se salen de A. $$Int(a) = \stackrel{\ \circ}{A} = \cup \{O \in \mathcal{T} \ : \ O \subseteq A \} = \{ x \in A \ : O_x \subseteq A \, , \ O_x \in \mathcal{T}\}$$
Se llama conjunto abierto al que cumple que $A = \stackrel{\ \circ}{A}$
Exterior Ext(A)
Son los puntos rodeados por abiertos que no tocan a A. $$Ext(a) = \cup \{O \in \mathcal{T} \ : \ O \cap A = \emptyset \} = \{ x \in X \ : \ O_x \subseteq (X \setminus A) \, , \ O_x \in \mathcal{T} \}$$
Frontera
Son los puntos cuyos entornos tienen puntos dentro y fuera de A $$Fr(A) = \partial A = \cup \{O \in \mathcal{T} \ : \ O \cap A \neq \emptyset \, \wedge \, O \cap (X \setminus A) \neq \emptyset\} =$$ $$ = \{ x \in X \ : \ O_x \cap A \neq \emptyset \wedge O_x \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \, , \ O_x \in \mathcal{T} \}$$
Clausura (adherencia o cierre) $\overline{A}$
Es coger el conjunto y añadirle los puntos de la frontera. $$Adh(A) = \overline{A} = \{ x \in X \ : \ O_x \cap A \neq \emptyset \}$$
Se llama conjunto cerrado al que cumple que $A = \stackrel{\ \circ}{A}$
Conjunto derivado $A'$
Es el conjunto de los puntos cuyos entornos siempre se cortan con el conjunto. $$A' = \{ x \in X \ : \forall O_x \, , \ O_x \cap A \neq \emptyset \}$$
Se llama punto de acumulación a los puntos que pertenecen al conjunto derivado.
Se llama punto aislado a los puntos que no pertenecen al conjunto derivado.
En los espacios métricos como $\Bbb{R}^n$ el conjunto derivado es la clausura menos los puntos aislados que se hayan definido. En una sucesión, los puntos de acumulación son los límites de las sucesines parciales convergentes.
Propiedades
- $X = \stackrel{\ \circ}{A} \, \sqcup Fr(A) \, \sqcup Ext (A)$ El total es la unión (disjunta) del interior, el exterior y la frontera
- $\overline{A} = \stackrel{\ \circ}{A} \, \sqcup \, Fr(A)$
- $A' \subseteq \overline{A}$
- $\stackrel{\ \circ}{A} = Ext(X \setminus A)$
- $int(A \cap B) = \stackrel{\ \circ}{A} \cap \stackrel{\ \circ}{B} \quad \quad \overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
- $int(A \cup B) \subseteq \stackrel{\ \circ}{A} \cup \stackrel{\ \circ}{B} \quad \quad \overline{A \cap B} \subseteq \overline{A} \cap \overline{B}$
- $int(\stackrel{\ \circ}{A}) = \stackrel{\ \circ}{A} \quad \quad \quad \quad Adh(\, \overline{A} \,) = \overline{A}$
Propiedades de las topologías
Espacio Hausdorff
Un espacio es Hausdorff si para cada dos puntos distintos, existen abiertos separados alrededor de ellos. $$\forall x_1 \neq x_2 \in X \, , \ \exists \, O_1, O_2 \in \mathcal{T} \ : \ O_1 \cap O_2 = \emptyset$$ Los espacios métricos (que tienen distancia) son Hausdorff.
Espacio 2AN (Segundo Axioma de Numerabilidad)
Un espacio es 2AN si existe una base de topología numerable $\exists \, \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T} \ : \ |\mathcal{B}| \leq \aleph_0$.
La topología trivial, y la usual de $\Bbb{R}^n$ es 2AN. También lo son todas las topologías que parten de un conjunto finito de elementos $|X| < \aleph_0$.
Operaciones de conjuntos
Continuidad
Sea $f: (X, \mathcal{T}_X) \longrightarrow (Y, \mathcal{T}_Y)$ una aplicación, es continua en X si para cada entorno de la imagen, existe un entorno en el dominio que está contenido en este. $$x \in X \, ,\ \forall \, U_y \in \mathcal{U}_{f(x)} \, ,\ \exists \, U_x \in \mathcal{U}_x \ : \ f(U_x) \subseteq U_y$$
Otra caracterización útil es que f es continua si todos los abiertos de la imagen se corresponden con un abierto del dominio $$\forall \, O_y \in \mathcal{T}_Y \, ,\ f^-(O_y) \in \mathcal{T}_X$$
Las aplicaciones constantes, la identidad, la inclusión ($f(a) = a : (A, \mathcal{T}_A) \rightarrow (X, \mathcal{T})$y la proyección ($f(x) = [x] : (X, \mathcal{T}_X) \rightarrow (\frac{X}{R}, \frac{\mathcal{T}}{R})$, $f(a) = a$) son continuas. La mezcla de funciones continuas es continua (f+g, \lambda f, fg, f \circ g, f/g ,f^-)
Homomorfo VS Homeomorfo
Un homomorfismo (o simplemente morfismo) es una función que cumple que una operación dentro de los valores de la función en el dominio es equivalente a otra en el recorrido. Por ejemplo, sea $f: \Bbb{R} \longrightarrow \Bbb{R} $
- $f(a + b) = f(a) + f(b)$   entonces   $f(x) = m x$ porque
- $f(0 + 0) = f(0) + f(0)$ ; $f(0) = 2f(0)$ ; $f(0) = 0$
- $f(1 - 1) = f(1) + f(-1)$ ; $0 = f(1) + f(-1)$ ; $f(-1) = - f(1)$
- $f(x + x) = f(x) + f(x)$ ; $f(2x) = 2f(x)$   entonces   $f(m x) = m f(x)
- $f(a + b) = f(a) \cdot f(b)$   entonces   $f(x) = \mathbf{e}^x$
- $f(a \cdot b) = f(a) + f(b)$   entonces   $f(x) = log{x}$ (aquí el dominio son solo los positivos)
- $f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)$   entonces   $f(x) = 0, 1, |x|$ porque
- $f(0 \cdot 0) = f(0) \cdot f(0)$ ; $f(0) = f(0)^2$ ; $f(0)^2 - f(0) = 0$ entonces puede ser que $f(0) = 0, 1$
- $f(1 \cdot -1) = f(1) \cdot f(-1)$ ; $f(-1) = f(1)f(-1)$ ; $f(-1) (f(1)-1) = 0$   entonces   $f(-1) = 0$ ó $f(1) = 1$
- $f(x \cdot x) = f(x) \cdot f(x)$ ; $f(x^2) = f(x)^2$   entonces   $f(x) = \sqrt{f(x^2)}$
Un homomorfismo se llama
- epimorfismo si es sobreyectivo $\forall\, y \in Y \, ,\ \exists \, x \in X \ : \ f(x) = y$
- monomorfismo si es inyectivo $\forall x_1, x_2 \in X \, ,\ f(x_1) = f(x_2) \ \Rightarrow x_1 = x_2$
- isomorfismo si es biyectivo (sobreyectiva e inyectiva) $\forall \, y \in Y \, ,\ \exists_1 \, x \in X \ : \ f(x) = y$
Un homeomorfismo es un isomorfismo continuo. Por ello es biyectiva, continua, y tiene inversa continua. Representa una función que transforma una curva o superficie en otra poco a poco, por ejemplo, de una taza a un donut. Para comprobar que es un homeomorfismo hace falta ver que es continua, y biyectiva (ya que esto implica que tiene inversa continua).
Un difeomorfismo es un homeomorfismo con derivada. Por ello es biyectiva, continua, con inversa, tiene derivada, tiene inversa y su inversa es derivable. Para comprobar si es un difeomorfismo solo es necesario ver que su derivada no se anula, ya que por el teorema de la función inversa es lo único que hace falta para que exista.
La composición de difeomorfismos (y por tanto también de homeomorfismos) $f \circ g$ es un difeomorfismo
Invariante topológico (ó Propiedad topológica)
Es una propiedad P que se conserva por homeomorfismos.
Embebimiento
Es una aplicación $f : (X, \mathcal{T}_X) \longrightarrow (Y, \mathcal{T}_Y)$ donde la imagen de la función es la topología inducida del dominio $ \tilde f: (X, \mathcal{T}_X) \longrightarrow (f(X), \mathcal{T}_{f(X)}) \subseteq (Y, \mathcal{T}_Y)$, entonces $\tilde f$ es homeomorfismo (contina + biyectiva).
Aplicación abierta
Se dice que $f : (X, \mathcal{T}_X) \longrightarrow (Y, \mathcal{T}_Y)$ es abierta si $$\forall \, U_x \in \mathcal{U}_x \, ,\ f(U) \in \mathcal{U}_{f(x)} $$ Equivalentemente, es abierta si $f(\stackrel{\ \circ}{A}) \subseteq int(f(A)) \, ,\ \forall A \subseteq X$.
Un aplicación biyectiva que cumple $f(\stackrel{\ \circ}{A}) = int(f(A)) \, ,\ \forall A \subseteq X$ es continua.
Se llama aplicación cerrada a la que cumple $f(\overline{A}) \subseteq \overline{\, f(A) \, } \, ,\ \forall A \subseteq X$
Identificación
Es una aplicación $f : (X, \mathcal{T}_X) \longrightarrow (Y, \mathcal{T}_Y)$ es una identificación si $\mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_{f(X)}$
Conexión
Un espacio $(X, \mathcal{T})$ es conexo si la única partición es el vacío y el total. $$\forall A \sqcup B = X \, \Rightarrow \ A, B \in {\emptyset, X}$$ Es un invariante topológico.
Teorema de Borsuk-Ulam
Cualquier aplicación continua $f:\Bbb{S}^n \rightarrow \Bbb{R}$ de la esfera a los reales, tiene una antípoda $f(p) = f(-p)$ (y por tanto no es biyectiva).
Compacidad
Un espacio $(X, \mathcal{T})$ es compacto si todo recubrimiento por abiertos es finito $$\forall I \, : \, \bigcup_{i \in i} O_i = X \, \Rightarrow \ |I| < \aleph_0$$ Es un invariante topológico.
En los espacios métricos es equivalente a que el conjunto sea cerrado y acotado.
Teorema de Heine-Borel
Los subconjuntos compactos de $\Bbb{R}^n$ son los cerrados y acotados
Teorema de acumulación de Bolzano-Weiertrass
Todo espacio compacto tiene un punto de acumulación.
Referencias
Resumen de Topología [R Camino]
Topología [M Macho]
Topología de Espacios Métricos [PJ Herrero]