Funciones
Funciones Fundamentales
Función identidad
$Id_{\Bbb{R}}(x) = x$
Es la que Devuelve los mismos valores. Se utiliza sobre todo cuando se escriben relaciones entre funciones.
$x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
$Id_{\Bbb{R}}(x)$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
Función signo
Sirve para conocer si un número es positivo, negativo o cero.
$sgn(x) =
\left\{ \begin{matrix}
-1 &\quad si \quad & x < 0 \\
0 &\quad si \quad & x = 0 \\
1 &\quad si \quad & x > 0
\end{matrix} \right\}$
$x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
$sgn(x)$ | $-1$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $1$ |
El valor absoluto
Sirve para quitar los valores negativos.
$\left|x \right| =
\left\{ \begin{matrix}
-x &\quad si \quad & x < 0 \\
x &\quad si \quad & x \geq 0
\end{matrix} \right\}$
$x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
$\left|x \right|$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
Función indicatríz (o característica) de un conjunto A
$I_A(x) = \chi_A(x) =
\left\{ \begin{matrix}
1 &\quad si \quad & x \in A \\
0 &\quad si \quad & x \not\in A
\end{matrix} \right\}$
$\displaystyle x = sgn(x) \cdot \left| x \right|$
Funciones Enteras
Parte entera suelo
$\lfloor x \rfloor = máx \{a \in \mathbb{Z} : k \leq x\}$
Parte entera techo
$\lceil x \rceil = mín \{a \in \mathbb{Z} : k \geq x\}$
Parte decimal
$Dec(x) = \{x \}_D = x - \lfloor x \rfloor$
Truncar
$Trun(x) = Trun(x,0) = sgn(x) \cdot \lfloor |x| \rfloor$
Parte entera (redondeo)
$Ent(x) = Red(x,0) = [x]_0 = \lceil x - 0.5\rceil$
$\displaystyle x = \lfloor x \rfloor + \{x \}_D$
$\displaystyle sgn(x)I_{\mathbb{R}\backslash \{0\}}(x) = \frac{x}{|x|} = \partial_x {|x|}$
$ \lfloor x \rfloor = - \lceil -x \rceil $
$ \lceil x \rceil = - \lfloor -x \rfloor $
Funciones Polinómicas
Polinoimio de grado 0, Función constante
$p(x) = k$, donde $k$ es n número real $k \in \Bbb{R}$
Polinoimio de grado 1, Recta
Representan rectas en el plano cartesiano.
$p(x) = mx + n$, donde $m,n \in \Bbb{R}$
Para el caso en el que $m=1$, $n=0$, es la función identidad.
A $m$ se le llama pendiente de la recta, y es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje $OX$
A $n$ se le llama ordenada en el origen, porque es el punto donde se corta la recta con el eje $OY$
El punto de corte con el eje $OX$ se calcula despejando $mx_0 + n = 0$, y queda $x_0 = -n/m$
Polinoimio de grado 2, Parábolas
- Representa una curva que alcanza un mínimo o un máximo (dependiendo del signo de $a$).
- Esta curva es la que realiza una pelota cuando se lanza al aire.
- También es el lugar geométrico donde los puntos de la parábola están a la misma distancia de una recta, y de un punto. La recta se llama directriz y el punto foco.
$p(x) = ax^2 + bx + c$ |
- Los puntos de corte con el eje OX se resuelven con los métodos de ecuaciones de segundo grado para $ax^2 + bx + c = 0$. Si salen soluciones complejas no se corta la parábola con los ejes, porque estamos representando el plano real
- De la fórmula expandida $ax^2 + bx + c = 0$ se pueden encontrar el vértice $v = (v_1, v_2)$ derivando e igualando a cero, lo que queda $v_1 = \dfrac{-b}{2a}$, y de ahí $v_2 = f(v_1)$
- Si se quiere calcular una parábola que corte en los puntos $r$, $s$ con el eje $OX$, se desarrolla la fórmula $f(x) = (x-r) (x-s)$
- Si se quiere calcular una parábola con vértice $v = (v_1, v_2)$ se despeja la fórmula $f(x) - v_2 = (x - v_1) ^2$.
- Al ser una función y no poder tomar dos valores distintos para un mismo punto x, la recta directriz es paralela al eje OX, y puesto que el foco es perpendicular a la recta directriz y pasa por el vértice, se puede construir una parábola a partir del foco $p = (p_1, p_2)$ y de su vértice $v = (v_1, v_2)$, que están a una distancia $d = p_2 - v_2$, y su recta directriz es $r(x) = v_2 - d$, quedando $p = (v_1, v_2 + d)$.
- Usando estos valores, a partir de la propiedad de igual distancia del foco y la directriz a la función $d((p_1, p_2), (x, f(x))) = d((x, v_2 - d), (x, f(x)))$ podemos calcular la fórmula $4d (y - v_2) = (x - v_1)^2$
- De la fórmula expandida $ax^2 + bx + c = 0$ se pueden encontrar la distancia $d$ del foco al vértice, que es la misma que la distancia de la directriz al vértice, como $d = \dfrac{1}{4a}$.
Raíz de Polinoimio de grado 1, Parábolas Horizontales
La ecuación de la parábola horizontal con vértice $v = (v_1, v_2)$ es de la forma $(y-v_2)^2 = x -v_1$, si lo convertimos en una función, en la que la variable $y$ depende de $x$, $y = f(x)$. Obtenemos la parte de arriba y la de abajo de la parábola con signo positivo y negativo respectivamente. De la forma:
$p(x) = \sqrt{ax + b} + c$ |
- El vértice es $v = (v_1, v_2) = \left(\dfrac{-b}{a}, c \right)$
- Ahora la recta directriz es paralela al eje $OY$ de la forma $r(y) = v_1 - d$, donde $d$ también es la distancia del vértice al foco $p=(v_1 + d, v_2)$
- Se puede calcular la parábola a partir del vértice y la distancia con la fórmula $(y - v_2)^2 = 4d(x - v_1)$
- De la fórmula expandida se puede encontrar la distancia $d$ como $d=\dfrac{a}{4}$
Polinoimio de grado 1, Hipérbolas
La hipérbola es el lugar geométrico donde el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es igual a la distancia entre los vértices.
$p(x) = \dfrac{1}{x}$ |
- Tiene una asíntota horizontal en $0$, y una vertical también en $0$
- Se puede mover la función al punto $v = (v_1, v_2)$ con p(x) = $\dfrac{1}{x-a} + b$
Raíz de Polinoimio de grado 2 (positivo), Hipérbolas Oblicuas
La ecuación de la Hipérbolas horizontal con pendiente $n/m$ es de la forma $\dfrac{y^2}{s^2} = \dfrac{x^2}{r^2} - 1$, si lo convertimos en una función, en la que la variable $y$ depende de $x$, $y = f(x) = \pm \dfrac{s}{r} \sqrt{x^2 -r^2}$. Obtenemos la parte de arriba y la de abajo de la hipérbola con signo positivo y negativo respectivamente.
Si queremos moverla el centro a $v = (v_1, v_2)$ despejamos la fórmula $\dfrac{(y-v_2)^2}{s^2} = \dfrac{(x-v_1)^2}{r^2} - 1$ quedando $\dfrac{s}{r} \sqrt{x^2 - 2v_1 + v_2^2 - r^2} + v_2$. Que en los problemas aparecerá de la forma
$p(x) = a \sqrt{x^2 + bx + c} + d$ |
- Tiene 2 asíntotas oblicuas con pendiente $\pm \dfrac{b}{a}$
- Si queremos conocer los vértices, $v = (v_1, v_2) = (-b/2, d)$
Raíz de Polinoimio de grado 2 (negativo), Elipses
La ecuación de la elipse con radios $r$ y $s$ es de la forma $\dfrac{y^2}{s^2} = 1 - \dfrac{x^2}{r^2}$, si lo convertimos en una función, en la que la variable $y$ depende de $x$, $y = f(x) = \pm \dfrac{s}{r} \sqrt{r^2 - x^2}$. Obtenemos la parte de arriba y la de abajo de la elipse con signo positivo y negativo respectivamente.
Si queremos moverla el centro a $v = (v_1, v_2)$ despejamos la fórmula $\dfrac{(y-v_2)^2}{n^2} = \dfrac{(x-v_1)^2}{m^2} - 1$ quedando $\dfrac{s}{r} \sqrt{-x^2 + 2v_1 - v_2^2 + r^2} + v_2$. Que en los problemas aparecerá de la forma
$p(x) = a \sqrt{-x^2 + bx + c} + d$ |
- Para el caso en el que $r = s$ tenemos un círculo
Polinomios de grado 3 o superior
Hay dos resultados importantes sobre polinomios que hay que tener en cuenta para entender la gráfica.
- Teorema Fundamental del Álgebra Todo polinomio de grado $n$ puede descomponerse en producto de $n$ monomios complejos. El polinomio tiene que tener grado mayor que 1 ($n \geq 1$) con coeficientes complejos (o de cualquier subcuerpo como $\Bbb{R}$,$\Bbb{Q}$, $\Bbb{Z}$) y el coeficiente líder $a_n = 1$, si tiene otro valor, solo hay que sacar factor común $a_n$
- Esto significa que un polinomio de grado $n$ tiene hasta $n$ raíces complejas, porque algunas pueden repetirse
- Para la gráfica solo nos interesan las $k$ raíces reales distintas $r_1, \ldots, r_k$ con $k \leq n$, ya que la función cruza eje $OX$ $k$ veces, por los puntos $(r_i,0)$ con $i \in [1,k]_{\Bbb{N}}$
- Teorema de pares conjugados Si un número complejo puro $z = r + \Bbb{i}s$ ($r,s \in \Bbb{R}, s \neq 0$)es una raíz de un polinomio con coeficientes reales, entonces su conjugado $\overline{z} = r - \Bbb{i}s $ también es una raíz del polinomio.
- Esto ocurre porque $(x - z)(x - \overline{z}) = x^2 + r^2 + s^2$ y tienes de nuevo coeficientes reales..
- Por tanto, una funcíon de grado impar siempre tiene una raíz real.
$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ |
Cocientes de Polinomios
En los cocientes, cuando el denominador $p(x)$ se anula, se crea una asíntota vertical, donde la función vale infinito, y se sale de la gráfica.
$$f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \ldots + b_1 x + b_0}$$ |
- Para valores grandes, (tanto negativos como positivos), la función se asemeja a $\dfrac{a_n x^n}{b_m x^m}$
Funciones Trascendentes
Exponencial
Representa el crecimiento continuo de una población. El número $\Bbb{e}$ se aproxima por $2.71828$ y se usa esa letra por honor al matemático Euler.
$$f(x) = \Bbb{e}^x$$ |
- Proviene de un polinomio infinito, que se llama una serie de potencias de Taylor, y es $\Bbb{e}^x = \sum_{n \geq 0}{\dfrac{x^n}{n!}} = 1 + x + \dfrac{x^x}{2} + \ldots$
Logaritmo (neperiano)
Es la función inversa de la exponencial
$$f(x) = log(x)$$ |
- Para valores de x mayores que 1, coincide con el área que hay entre la hipérbola $\dfrac{1}{x}$ y el eje $OX$ en el lado positivo, log x = $\int_1^x{\dfrac{1}{t} \ dt}$
- También se usa la notación $ln(x)$ indicando logaritmo neperiano, $Lx$ para simplificarlo, incluso ${\large \mathcal{L} \hspace{-.8ex} \underline{\ x \,}}$ una L caligráfica subrayando la variable, como se alargó la $r$ para hacer la raíz cuadrada $\sqrt{x}$.
Exponencial de base b
Crece de la misma forma, aunque la velocidad depende de si la base es mayor o menor que $\Bbb{e}$
$$f(x) = b^x$$ |
Logaritmo de base b
Es la función inversa de la exponencial
$$f(x) = log_b(x)$$ |
- Para valores de x mayores que 1, coincide con el área que hay entre la hipérbola $\dfrac{1}{x}$ y el eje $OX$ en el lado positivo, log x = $\int_1^x{\dfrac{1}{t} \ dt}$
- También se usa la notación simplificada con la L caligráfica subrayando la variable, y la base en el lazo del logaritmo.