Derivadas
La derivada es un Funcional, es decir, una función que toma funciones como argumento, y te devuelve una función diferente.
Si notamos por $\mathcal{F}(\Bbb{R}, \Bbb{R})$ abreviadamente $\mathcal{F}$ al conjunto de funciones reales (que toman valores reales de un subconjunto de $\Bbb{R}$ y devuelven valores reales), el operador derivada es una función que va de $\mathcal{F}$ a $\mathcal{F}$.
Antes de introducir una notación, he de decir que se puede escribir de muchas formas, dependiendo del matemático que lo escribió $\partial_x$ (Jacobi nac.1804), $f'$ (Lagrange nac.1736), $D_x$ (Euler nac.1707), $\displaystyle \frac{d}{dx}$ (Leibniz nac.1646), $\stackrel{\cdot}{x}$ (Newton nac.1642). Cuando se habla de 1 sola variable se suele omitir el $x$ en la notación de Jacobi $\partial$ y Euler $D$.
Aquí usaremos la notación de Jacobi por ser el más moderno (solo 200 años de antigüedad) y porque es la que permite mayor expresividad (puedes elevar la derivada al cuadrado sin confundirla con la segunda derivada $\partial^2_x \neq \partial_{2x}$). Entonces, podemos ver el funcional como $\partial_x : \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{F}$ y está definido de la siguiente forma:
$\displaystyle \partial_x f(x) = \lim_{a \to x} \frac{f(x) - f (a)}{x-a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f (x)}{h}$ |
Se escribe define con dos límites algo distintos, porque son equivalentes haciendo el cambio de variable ($x-a = -h$), y a la hora de demostrar cuál es la derivada de una función, a veces es más fácil hacerlo con una que con la otra.
La derivada tiene un significado geométrico claro, y es de donde proviene la fórmula. Cerca de un punto $x$, que es sobre el que se deriva, se tiene que $f(x) - f(a)$ es la altura que varía la gráfica cerca de $x$ o lo que llamaríamos el seno (por el radio) de la función en x, y $x-a$ es lo que varía en anchura, o lo que llamaríamos coseno (por el radio) de x. Entonces al ser la división del seno entre el coseno, la derivada es la tangente de la función en un punto.
Como la función de la recta $y = mx + n$ usa la tangente como $m = tan\,\alpha$ y la ordenada en el origen se pude calcular mediante transformaciones. Podemos calcular con la derivada la recta tangente que pasa por cualquier punto de la función. Y esta recta $r$ en un punto a es
$r \ \equiv \ y - f(a) = \partial f (a) \cdot (x - a)$ |
Cuando se escribe $\partial f(a)$ se está indicando que, como $a$ es un valor concreto, no una variable, primero derivas la función respecto a $x$, $\partial_x f(x)$ y después la evalúas en el punto $a$, que podría escribirse mejor como $\left[\partial_x f(x)\right]_{x = a}$ un poco más resumido como $\left[\partial f(x)\right]_{a}$ y super resumido como sale en la ecuación $\partial f(a)$.
Esta pendiente nos dará información de la función, ya que al ser la tangente, cuando la tangente vale cero $tan \, \alpha = 0$, significa que el ángulo es $0$, por lo que es muy probable que en ese punto la función tenga un máximo o un mínimo, y con ello pase de crecer $tan \, \alpha > 0$ a decrecer $tan \, \alpha < 0$. Con la posibilidad de calcular los máximos y los mínimos se nos abrirá la posibilidad de resolver problemas de optimización, que son aquellos que partiendo de una función queremos saber cuándo es el mejor o el peor valor.
A la hora de calcular las derivadas, no hay que usar esta definición, ya que solo tenemos un puñado de funciones que derivar. Y conociendo las derivadas de las funciones elementales (polinomios, exponenciales/logaritmos, y trigonométricas) y cómo se deriva entre ellas, podremos hacer la mayoría de las derivadas que nos interesan.
Definimos las constantes como $a, n \in \mathbb{R}$ y funciones $f,g \in \mathcal{F}$ con la restricción de que no puedan valer cero si aparecen en un cociente. Y sea $x \in \mathbb{R}$ la variable dependiente sobre la que derivamos.
Reglas de las Derivadas
Suma de derivadas | $\partial (f + g) \ = \ \partial f + \partial g$ |
Producto de derivadas | $\partial (f \cdot g) \ = \ \partial f \cdot g + f \cdot \partial g$ |
Regla de la cadena | $\partial (f \circ g) \ = \ ( \partial f \circ g ) \cdot \partial g$ |
$\partial_t f(x) \ = \ \partial_x f \cdot \partial_t x$ | |
Teorema de la función inversa | $\partial f^- \ = \ \displaystyle \frac{1}{\partial f \circ f^-}$ |
$\displaystyle \partial_y x \ = \ \frac{1}{\partial_x y}$ | |
Teorema de la función implícita $y = f(x),\ F(x,y) = 0$ |
$\partial f \ = \ \displaystyle - \frac{\partial_x F}{\partial_y F}$ |
Tabla de derivadas
$\partial x^n \ = \ nx^{n-1}$ |
$\partial \mathcal{e}^x \ = \ \mathcal{e}^x$ |
$\partial ln(x) \ = \ \displaystyle \frac{1}{x}$ |
$\partial sen(x) \ = \ cos(x)$ |
Tabla completa de derivadas
Con las derivadas que aparecen con más frecuencia, aunque todas se pueden calcular a partir de las tablas anteriores
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Es usual hacer la derivada de la derivada, y esto proviene de la composición de funciones. Como se ha visto anteriormente la notación se vuelve algo complicada, porque hay muchos matemáticos que intentaron mejorarla de alguna manera. Aquí usaremos la notación
$\displaystyle \partial_x \circ \partial_x = \partial_{2x}$ |
Donde otras notaciones de otros matemáticos son $f''$, $D_x^2$, $\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}$ , $\stackrel{\cdot \cdot}{x}$.