Ecuaciones Lineales
Una ecuación es una igualdad con dos expresiones algebraicas a cada lado, de donde se quiere calcular los valores para los que tiene sentido.
Para empezar, la igualdad entre elementos de un conjunto $A$ tiene 3 propiedades que la caracterizan
Nombre | Fórmula | Descripción |
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Reflexiva | $\forall a \in A,$ $ a = a$ |
Un elemento es igual a sí mismo |
Simétrica | $\forall a, b \in A,$ $ a = b \Rightarrow b = a$ |
No importa el orden de la igualdad |
Transitiva | $\forall a, b, c \in A, $ $ \left\{ \begin{matrix} a = b \\ b = c \end{matrix} \right\}_{\cap} \Rightarrow a = c$ |
La igualdad se propaga, si tres elementos son iguales entre sí dos a dos, todos son iguales entre sí |
Estas propiedades son los axiomas sobre los que partimos para el resto de ellas. Aunque falta el resultado más importante, si el conjunto A es un monoide con la suma, como los números naturales $(\Bbb{N}, +)$, entonces:
$\forall a, b \in \Bbb{N},$ $ a = b \Rightarrow a+1 = b+1$ |
La suma respeta la igualdad |
Este resultado es el que nos lleva a que en un cuerpo $\Bbb{K}$ como los racionales $\Bbb{Q}$ o lo reales $\Bbb{R}$, la igualdad se mantiene si se suma el mismo número a ambos lados, que se puede restar el mismo elemento a ambos lados, que se puede multiplicar, dividir, elevar y aplicar logaritmos a ambos lados de la igualdad, y se sigue respetando. Es una tabla:
$a, b, c \in \Bbb{K} \mid a = b$ Para tres elementos de un cuerpo, se cumple |
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$a + c = b + c$ | $a - c = b - c$ |
$a \cdot c = b \cdot c$ | $a / c = b / c$ ($c \neq 0$) |
$c^{a} = c^{b}$ | $log_c(a) = log_c(b)$ ($a,b,c > 0$) |
De forma más general, la igualdad se mantiene si las operaciones que se realizan a ambos lados se pueden deshacer, matemáticamente deshacer significa que una función sea biyectiva, es decir $a = b \Leftrightarrow f(a) = f(b)$
Ecuaciones de primer grado
Lo de primer grado se refiere a que la ecuacion es combinacion lineal de polinomios de grado 1. Un polinomio de grado uno es de la forma $p(x) = ax + b$, donde $a$, y $b$ son números conocidos, y la $x$ es el número que queremos calcular. Hoy en día se usa la $x$ por tradición, la historia más extendida sobre de donde proviene habla de que en proviene del árabe xei, que significa cosa, y para agilizar la escritura se acabó dejando solo la x.
Hay que pensar en la $x$ como un número que desconocemos. Pero como es un número, se le pueden aplicar todas las propiedades que ya hemos visto. La propiedad que más cuesta es la distributiva, que debido a que es complicada aplicarla sobre la $x$ tiene un nombre especial: sacar factor común, y consiste en:
Sacar factor común | $ax + bx = (a + b)x$ |
Concretando esta regla, lo que falta son consejos para resolver una ecuación de primer grado. Lo más usual es ir aplicando en los dos lados de la igualdad las operaciones por orden inverso de prioridad, hay que quitar primero las sumas y restas, y luego quitar los productos y dividiones. Yo aconsejaría estos pasos de forma general, aunque con práctica es más divertido intentar buscar la forma más rápida de resolverla.
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Ejemplo: $2 (x + 6) + 17 x = 5 (4 + 3x)$
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