Variable Aleatoria
Una variable aleatoria es una función $X\,:\, \Omega \longrightarrow \Bbb{R}$ que convierte los elementos del espacio muestral $\Omega$ que pueden ser cualquier cosa (monedas, cartas, ...) en números, de forma que podamos tratarla mejor.
Por ejemplo, convertir la cara en 0 y la cruz en 1.
Buscando generalizar esta idea al máximo, introducimos el concepto de σ-álgebra de Borel $\mathcal{B}$, que es la σ-álgebra del espacio medible $(\Omega ,\, \mathcal{A})$ generado por la familia de abiertos de un espacio topológico $(\Omega, \mathcal{T})$. Usamos estos dos ejemplos:
- $\mathcal{B}_\Bbb{Z}$ La σ-álgebra de Borel de $(\Bbb{Z},\, \mathcal{T}_{usu})$ es la formada por el conjunto de uniones finita y numerables de números enteros.
- $\mathcal{B}_\Bbb{R}$ La σ-álgebra de Borel de $(\Bbb{R} ,\, \mathcal{T}_{usu})$ tiene más elementos, pero para la probabilidad es suficiente saber que contiene a todas las uniones finitas y numerables de puntos e intervalos (cerrados, abiertos y mezcla), es decir, los conjuntos bonitos.
Llamando borelianos a los elementos de esta σ-álgebra.
Con las σ-álgebras de Borel, las variables aleatorias son aquellas funciones continuas (en el sentido topológico) entre estos espacios.
$$\forall B \in \mathcal{B} ,\ X^{-}(B) \in \mathcal{A}$$
Es decir, $\forall B \in \mathcal{B} ,\ \{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) \in B \} \in \mathcal{A}$, a la hora de comprobarlo es equivalente comprobar que se cumple para los elementos de la base de la topología, en el caso real sería $\forall x \in \Bbb{R} ,\ \{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) \leq x \} \in \mathcal{A}$ ya que una base de la topología usual es $\{ (-\infty ,\, x) \ : \ x \in \Bbb{R} \}$
Con esto nos aseguramos de que cualquier suceso $A \in \mathcal{A}$ nos lleva a un conjunto de valores bonitos (borelianos) y viceversa. Esto es importante cuando se tienen variables aleatorias continuas, ya que con borelianos tenemos definida una medida, que a efectos prácticos nos asegura que podemos integrar y obtener un valor entre 0 y 1 que será la probabilidad.
Distribución de Probabilidad de X $P_X(B)$
Es una función de probailidad $P_X \ : \ \mathcal{B} \longrightarrow [0,1]$ con las propiedades que ya conocemos solo que ahora está definida sobre la σ-álgebra de Borel.
De forma que la variable aleatoria es una aplicación que manda elementos de un espacio de probabilidad sobre un conjunto de sucesos cualquiera $\Omega$ a un espacio de probabilidad con valores numéricos
$$X \ : \ (\Omega,\, \mathcal{A} ,\, P) \ \longrightarrow (\Bbb{R} ,\, \mathcal{B} ,\, P_X) $$
Función de distribución $F_X(x)$
Una función de distribución $F_X \,:\, \Bbb{R} \longrightarrow [0,1]_\Bbb{R}$ es una función que convierte los valores de la variable aleatoria en la probabilidad de que ocurran estos o los anteriores (ordenados según la variable aleatoria)
$$F_X(x) := P(X \leq x)$$
Siguiendo con el ejemplo anterior
$P(X \leq 0) = P(X = 0) = P(cara) = 1/2$ y
$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = P(cara) + P(cruz) = 1/2 + 1/2 = 1$
Propiedades de f. distribución $F_X(x)$
Características de las distribuciones
Distribución
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que le asigna a cada suceso la probabilidad de que dicho suceso ocurra. Nos interesa estudiar qué funciones son las que mejor modelizan los problemas más comunes.
Empezaremos estudiando las propiedades y características que tiene una función de distribución.
Como hay distribuciones discretas y continuas, siempre habrá dos fórmulas, una con sumatorias y otra con integrales, que representan en cada caso el mismo concepto
Esperanza matemática