Probabilidad
La probabilidad es la medida del grado de incertidumbre que tenemos de que ocurra un suceso aleaotrio, antes de que conozcamos cuál será su resultado.
Se denomina espacio muestral $\Omega$ al conjunto de los posibles resultados que pueden obtenerse de un experimento aleatorio.
Un suceso elemental es un elemento del espacio muestral. Y un suceso compuesto es la unión de varios sucesos elementales. De forma general, se llama suceso $A$ a un subconjunto de posibles resultados del espacio muestral $A \subset \Omega$
Noción de Probabilidad Clásicas (Laplaciana) y Frecuentista
Ambos conceptos parten de la idea de que la cantidad de posibilidades es finita $| \Omega| \leq \aleph_0$.
La probabilidad clásica parte de un suceso ideal, en el que se pueden calcular los casos favorables y los posibles, siendo la probabilidad de que ocurra un suceso $A \subset \Omega$ es $$ P(A) = \frac{\textrm{Casos Favorables}}{\textrm{Casos Posibles}} = \frac{|A|}{|\Omega|} $$ La probabilidad frecuentista parte de sucesos que pueden repetirse muchas veces sin coste (como tirar un dado, no como fundir bombillas tras x encendidos), de forma que se acerca más al número exacto al quitar la situación idealizada, y se define como $$ P(A) = \frac{\textrm{Número de éxitos}}{\textrm{Número de intentos}} $$
Espacio de Probabilidad $(\Omega ,\, \mathcal{A} ,\, P)$
Con la intención de generalizar al máximo posible estos conceptos, más allá de conjuntos infinitos (para estudiar casos continuos), Kolmogorov construyó los espacios de probabilidad, que son esta tripleta formado por un conjunto cualquiera, una sigma álgebra sobre este, y una función de probabilidad.
Sigma Álgebra ($\sigma$-álgebra)Se dice que $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$ es una sigma álgebra si cumple estos tres axiomas:
- $\Omega \in \mathcal(A) $
- $\displaystyle \bigcup_{n \in \Bbb{N}} A_n \in \mathcal(A)$ es cerrada para la unión numerable de sucesos $A_n \in \mathcal{A} ,\, \forall\, n \in \Bbb{N}$
- $\Omega \setminus A \in \mathcal{A}$ los complementarios están en A
Como consecuencia, una sigma álgebra también es una topología $\Omega^C = \emptyset \in \mathcal(A)$, solo que es aún más que una topología, porque contiene también a la intersección numerable de abiertos $\displaystyle \left( \bigcup_{n \in \Bbb{N}} A_n^C \right )^C = \bigcap_{n \in \Bbb{N}} {A_n^C}^C = \bigcap_{n \in \Bbb{N}} A_n$.
Y se define para concretar los sucesos que se van a estudiar, ahora los sucesos son los elementos de esta sigma álgebra $A \in \mathcal{A}$
Se dice que $P: \mathcal{A} \longrightarrow [0,1]$ es una función de probabilidad si cumple que
- $P(A) \geq 0$ es positiva $\forall A \in \mathcal{A}$
- $P(\Omega) = 1$ está normalizada
- $A_n \cap A_m = \emptyset$ $\Rightarrow$ $\displaystyle P \left( \bigcup_{n \geq 1} A_n \right ) = \sum_{n \geq 1} P(A_n)$ los complementarios están en A
Las propiedades más importantes son
- $P(\emptyset) = 0$
- $P(A^C) = 1 - A(A)$
- $P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)$
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Probabilidad Condicionada
Dados dos sucesos $A,B \in \mathcal{A}$ de un espacio están condicionados si uno depende del otro
EjemploDe una baraja de 40 cartas coges 2 cartas (sin reemplazamiento), ¿cuál es la probabilidad de que la segunda carta sea un As, sabiendo que la primera es un As?
Intuitivamente, tras sacar un As tenemos 39 cartas posibles, y solo 3 Ases (cartas favorables). Usando la probabilidad de Laplace tenemos que:
$$P(A_2 / A_1) = \frac{3}{39}$$
Siendo A_1 = "Sacar un As en la primera carta", A_2 = "Sacar un As en la segunda carta", y la barra de división se lee "Sabiendo que".
Juntanto todo, se lee: "La probabilidad de sacar un As en la segunda carta + sabiendo que + se ha sacado un As en la primera carta"
La probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A se define como $$ P(B / A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$
Regla de la multiplicación
La probabilidad de que ocurran dos sucesos dependientes se calcula despejando la ecuación anterior, quedando $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B / A)$$
EjemploDe una baraja de 40 cartas coges 2 cartas (sin reemplazamiento), ¿cuál es la probabilidad de sacar dos Ases?
La probabilidad de sacar un dos Ases, es la probabilidad de sacar un As en la primera carta, y sacar otro en la segunda cuando ha aparecido uno en la primera $$P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2 / A_1) = \frac{4}{40} \cdot \frac{3}{39} = \frac{1}{130} $$
Puede preguntarse qué se conoce primero del problema, si la probabilidad condicionada o la de la intersección. Suele depender del problema, pero una de ellas se puede calcular por Laplace.
De forma más general, para la intersección de n sucesos $A_i$ se tiene que
$$P \left ( \bigcap_{i=1}^n A_i \right ) = P(A_1) \cdot P(A_2 / A_1) \cdot P(A_3 / A_1 \cap A_2) \cdot \ldots \cdot P(A_n / \bigcap_{i=1}^{n-1} A_i)$$
Teorema de la Probabilidad Total
Ejemplo
De una baraja de 40 cartas queremos calcular cuál es la probabilidad de sacar un As. Y podemos calcularlo directamente como 4 ases favorables entre 40 cartas posibles $P(A) = 4/40 = 1/10$.
El teorema de probabilidad total nos permite calcularlo de otra forma, para usarlo en problemas algo más difíciles que estos, juntando las probabilidades de que salga el As de Tréboles $(A \cap T)$, el As de Picas $(A \cap P)$, el As de Rombos $(A \cap R)$ y el As de Corazones $(A \cap C)$.
Como son sucesos disjuntos, se puede calcular la probabilidad de la unión como la suma de las probabilidades $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0$. Teniendo esto en mente procedemos
$\displaystyle P(A) = P \Big ( (A \cap T) \cup (A \cap P) \cup (A \cap R) \cup (A \cap C) \Big ) =$
$\displaystyle P(A \cap T) + P(A \cap P) + P(A \cap R) + P(A \cap C) =$
$\displaystyle P(T) \cdot P(A/T) + P(P) \cdot P(A/P) + P(R) \cdot P(A/R) + P(C) \cdot P(A/C) =$
$\displaystyle\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{10} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{10} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{10} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{10} =$
$\displaystyle\frac{1}{40} + \frac{1}{40} + \frac{1}{40} + \frac{1}{40} =$
$\displaystyle\frac{4}{40} =$ $\displaystyle\frac{1}{10}$
Con esta idea en mente, puede definirse esta forma de calcular la probabilidad que se llama el teorema de la probabilidad total. Sea $\{ A_i \, : \, i = 1,\,...,\,n \}$ una partición del espacio muestral ($\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega$ y $A_n \cap A_m = \emptyset$), se puede calcular la probabilidad de un suceso B como: $$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B / A_i) \cdot P(A_i)$$
Teorema de Bayes
El teorema de bayes es una forma de calcular la probabilidad condicionada "al revés", buscando la probabilidad condicionada de una de las particiones, conociendo el resultado.
EjemploDe una baraja de 40 cartas queremos saber cuál es la probabilidad de que habiendo sacado un As, este sea de Corazones. Podemos calcularlo directamente como 1 As de Corazón favorable entre 4 Ases posibles $P(A \cap C) = 1/4$, pero vamos a hacerlo con el teorema de Bayes.
Para usar Bayes repetimos la partición por formas: Tréboles $(T)$, Picas $(P)$, el Rombos $(R)$ y el Corazones $(C)$.
$\displaystyle P(C / A) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)} =$
"$\displaystyle \frac{1/40}{1/4} =$" (Conocemos estos resultados, pero sigamos)
$\displaystyle \frac{P(C) \cdot P(A / C)}{P(T) \cdot P(A/T) + P(P) \cdot P(A/P) + P(R) \cdot P(A/R) + P(C) \cdot P(A/C)} =$
$\displaystyle \frac{1/4 \cdot 1/10}{1/4 \cdot 1/10 + 1/4 \cdot 1/10 + 1/4 \cdot 1/10 + 1/4 \cdot 1/10} =$
$\displaystyle \frac{1/40}{1/40 + 1/40 + 1/40 + 1/40} =$
$\displaystyle \frac{1/40}{1/10} =$
$\displaystyle \frac{1}{4}$
Generalizamos la idea para cualquier partición del espacio muestral $\Omega$ y tenemos $$\displaystyle P(A_1 / B) = \frac{P(A) \cdot P(B / A_1)}{\sum_{i=1}^{n} P(B / A_i) \cdot P(A_i)}$$
Sucesos Independientes
Se dice que dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurra uno no influye en el otro. Esto se expresa como: $$ P(B / A) = P(B) \ \Leftrightarrow \ \textrm{A, B independientes}$$ Como consecuencia, sustituyendo en la regla de multiplicación, ocurre que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Distribuciones