Ecuaciones Diferenciales
Por costumbre se utiliza la notación de espacio tiempo, siendo $x$ la posicición y $t$ el tiempo, y las funciones son posiciones respecto del tiempo $x = x(t)$, siendo $x' = \partial_t x$
Ecuaciones Diferenciales de Primer orden
Inmediatas
Si la ecuación no involucra a la variable dependiente, se puede integrar directamente $$x' = f(t)$$ entonces $$x(t) = \int_t f(t)$$ Sin olvidar la constante, que se ajusta con el valor inicial $x(t_0) = x_0$
Teorema de Exitencia y unicidad de soluciones
Una ecuación diferencial ordinaria $x' = f(t, x)$ se sabe que existe solución y es única en un rectángulo R al rededor del valor inicial $(t_0, x(t_0))$ si la parcial de f respceto a x es continua en R $\partial_x f \in \mathcal{C}(R)$
Ecuaciones separables
Es una ecuación del tipo $$x' = y(x) \cdot f(t)$$ Entonces se puede integrar sobre t y después hacer un cambio de variable con el siguiente método, $\int_t \frac{x'}{y(x)} = \int_t f(t)$ se aplica el cambio de variable en la primera integral $u = x$, $1 = x' \partial_u x$, $\partial_u x = 1/x'$ y al sustituir qued $\int_{u = x(t)} \frac{x'}{y(x)} \frac{1}{x'} = \int_{u = x(t)} \frac{1}{y(u)}$ donde renombrando u por x tenemo este resultado de cambio de variable $$CV: \ \int_t \frac{x'}{y(x)} = \int_x \frac{1}{y(x)}$$ Por tanto, la solución al sistema es $$\int_x \frac{1}{y(x)} = \int_t f(t)$$ Sin olvidar la constante de integración, para luega ajustarla con el valor inicial
EjemploUna ecuación importante es $$x' = k x$$ Se soluciona por variables separadas con $ \int_t \frac{x'}{x} = \int_t k \ ; \ \int_x \frac{1}{x} = \int_t k$ integramos $log|x| = kt + C_1 \ ; \ x = \mathbf{e}^{kt + C_1} \ ;$ Finalmente dejando la solución algo más bonita con $A = \mathbf{e}^{C_1} $queda $$ \ x(t) = A \mathbf{e}^{kt}$$
EjemploOtra ecuación importante es $$x' = k x^2$$ Se soluciona por variables separadas con $ \int_t \frac{x'}{x^2} = \int_t k \ ; \ \int_x \frac{1}{x^2} = \int_t k$ integramos $\frac{-1}{x} = kt + C_1 \ ; \ x = \frac{1}{-C_1 - kt} \ ;$ Finalmente dejando la solución algo más bonita con $C =-C_1 $queda $$ \ x(t) = \frac{1}{C - kt}$$
Euación lineal de primer orden
Es una ecuación de la forma $$x' + f(t) \cdot x = g(t)$$ Para poder integrarla hay que hacerlo por pasos
- Buscamos el factor integrante $\displaystyle \rho (x) = \mathbf{e}^{\wedge}\int_t f(t) $ para multiplicarlo en ambos de la ecuación (por lo que no hace falta la C)
- Obtenemos $\displaystyle x' \cdot \mathbf{e}^{ \int_t f(t) } + x \cdot f(t) \mathbf{e}^{ \int_t f(t) } = g(t) \mathbf{e}^{ \int_t f(t) } (x)$ que es igual a $ \partial_t (x \cdot \mathbf{e}^{ \int_t f(t) } ) = g(t) \mathbf{e}^{ \int_t f(t) }$
- Integramos en t y resolvemos la ecuación $\displaystyle x \cdot \mathbf{e}^{ \int_t f(t) } = \int_t g(t) \mathbf{e}^{ \int_t f(t) }$
Tenemos una función de la forma
$$x' + 2 t x = 4t \ , \quad x(0) = 1$$
$$x = 2 - e^{-t^2}$$
Método de sustitución
Hay ecuaciones que tienen una parte de la función que se repite, o que sabemos que podemos hacer un cambio que la simplifique. Para hacer el cambio de variable, tenemos que buscar una función, despejarla y sustituir $$x' = f(t, x)$$ Entonces, buscamos $u = g(t, x)$ una parte de la ecuación, de forma que f(u) sea fácil de expresar. Luego calculamos la inversa en x $x = g^- (t, u)$ y donde pone la derivada ponemos la derivada de $x' = \partial_t (g^-(t, u))$, si conseguimos obtener una ecuación que sí sabemos resolver, la terminarnos y finalmente deshacemos la sustitución. Es más fácil verlo con un ejemplo
Ejemplo
Tenemos una función de la forma
$$x' = (t + x + 5)^2$$
$$x = tan(t + C) - 5 - t$$