Ecuaciones Equivalentes
Quiero contar con profundidad cómo se resuelven ecuaciones, y qué está ocurriendo al transponer, para así poder resolver ecuaciones aún más difíciles. Para eso hace falta entender la idea de biyección.
Una biyección es una aplicación $f: X \rightarrow Y$ que va de un conjunto a otro, de forma que a cada valor $y \in Y$, solo le corresponde un único valor $x \in X$ tal que $f(x) = y$. Matemáticamente: $$\forall y \in Y, \ \exists_1 \, x \in X : f(x) = y$$ O lo que nos va a importar más, $$f(x) = f(y) \Leftrightarrow x = y$$ Estas funciones las escribiremos con una flecha $f: X \longleftrightarrow Y $. Será necesario que el tamaño de los dos conjuntos sea el mismo $|X| = |Y|$, pero como normalmente se trabaja con soluciones reales o naturales, tenemos conjuntos infinitos con tamaño $\aleph$ y $\aleph_1$.
Teorema (de equivalencia de ecuaciones)
Dos ecuaciones son equivalentes (tienen las mismas soluciones) si existe una aplicación biyectiva entre ambas |
Visto este teorema, es inmediato observar que las operaciones básicas de transponer elementos es solo la parte más sencilla. Partimos de que la identidad, que es la función biyectiva más sencilla $Id_X(x) = x$, y $Id: X \longleftrightarrow X$, vamos a estudiar el caso más general, que son los números reales $\Bbb{R}$, aunque perfectamente podría estudiarse también en enteros $\Bbb{Z}$ o complejos $\Bbb{C}$.
Las dilataciones y las traslaciones sobre una aplicación biyectiva entre conjuntos infinitos crean una nueva aplicación biyectiva.
Es por eso que la identidad $Id_{\Bbb{R}} : \Bbb{R} \longleftrightarrow \Bbb{R}$ puede transformase mediante otra constante $c \in \Bbb{R} \setminus \{0\}$ en
Traslaciones: $f_1 = x + c$, $f_2 = x - c$
Dilatacoines: $f_3 = c \cdot x$ , $f_4 = c \cdot x$
Las traslaciones permiten la transposición de pasar los que está sumando restando, y viceversa, y las dilataciones permiten pasar los que está multiplicando dividiendo, y viceversa (siempre que no sea el cero). Así que ya toca empezar con otras funciones que no son tan biyectivas.
La raíz cuadrada
Cuando tenemos una ecuación de la forma $x^2 = 4$, se suele terminar resolviendo con $x = \pm 2$, pero claro, aquí la función que aplicamos es $f(x) = \sqrt{x}$ que está definida de $f:\Bbb{R^+} \longleftrightarrow \Bbb{R^+}$, y entonces, si está definida de números positivos en positivos, ¿Cómo es que obtenemos una solución negativa?. Es aquí donde entra otro enunciado importante:
Toda función no biyectiva $f: X \rightarrow Y$ puede restringirse a particiones del conjunto $X$ que vayan a particiones del conjunto $Y$ de forma que cada nueva función sí sea biyectiva. $$X_i \in \mathcal{P}(X),\, Y_j \in \mathcal{P}(Y) \ \ f_{ij}: X_i \longleftrightarrow Y_j ,\ \ i \in [1,n]_\Bbb{N}, \ j \in [1,m]_\Bbb{N}$$
De esta forma, la función $x^2$ que es la que nos da problemas para encontrar su inversa, $f:\Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R^+}$ podemos partirla en dos funciones que sean biyectivas, restringiendo su dominio, así tenemos:
$\ f_1 = x^2 : \Bbb{R}^+_0 \longleftrightarrow \Bbb{R}^+_0$ con inversa $f_1^{\ast} = \sqrt{x} : \Bbb{R}^+_0 \longleftrightarrow \Bbb{R}^+_0$
$\ f_2 = x^2 : \Bbb{R^-} \longleftrightarrow \Bbb{R^+}$ con inversa $f_2^{\ast} = -\sqrt{x} : \Bbb{R^+} \longleftrightarrow \Bbb{R^-}$
Las ecuaciones equivalentes que se obtienen depende solo del dominio de origen, combinando todos los recorridos.
Si $\exists i \in [1,n]_\Bbb{N}$ tal que $x, y \in X_i$, entonces, $$x = y \ \Leftrightarrow \ \{ f_{ij}(x) = f_{ik}(y) \ \ : \ j, k \in J \}_\cup$$ siendo J el conjunto de índices de los recorridos que parten de $X_i$, $f_{ij}: X_i \longleftrightarrow Y_j, \ j \in J$ |
Ahora lo aplicacmos a la ecuación de ejemplo $x^2 = 4$, y tenemos que $$\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^2} = \sqrt{4} & \ \textrm{si} & x \geq 0 \\ \sqrt{x^2} = -\sqrt{4} &\ \textrm{si} & x \leq 0 \\ -\sqrt{x^2} = \sqrt{4} &\ \textrm{si} & x \leq 0 \\ -\sqrt{x^2} = -\sqrt{4} &\ \textrm{si} & x \geq 0 \end{matrix} \right\}_\cup \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 & \ \textrm{si} & x \geq 0 \\ x = -2 & \ \textrm{si} & x \leq 0 \\ \end{matrix} \right\}_\cup \Leftrightarrow |x| = 2 \Leftrightarrow x = \pm 2 $$
Si aplicamos el cuadrado, por ejemplo para $\sqrt{x} = 3$, no hay problema con que $x = 9$. Ahora, si tenemos $\sqrt{x} = -3$ no podemos usar la función $f(x) = x^2 : \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R^+_0}$ ya que para que sea biyectiva tenemos que restringir el dominio a los positivos, o los negativos, y con distinto dominio, no podemos aplicar las funciones $f_1, f_2$.
Arcos
Ocurren problemas parecidos al buscar la inversa de las funciones trigonométricas. Veamos que pasa con el seno. $sen(x): \Bbb{R} \rightarrow [-1,1]$, y para que sea biyectiva, como es periódica de periodo $\tau$, primero hacemos $\aleph$ particiones, de la forma $sen_{k,1}(x): [-\tau/4, 3\tau/4] + k\tau \rightarrow [-1,1], \ \ k \in \Bbb{Z}$. Y partimos de nuevo los grados en derecha e izquierda para hacerlos biyectivos, de forma que al renombrar los índices nos queda $sen_k(x): [-\tau/4, \tau/4] + k\tau/2 \longleftrightarrow [-1,1], \ \ k \in \Bbb{Z}$
Ahora podemos trabajar sobre la inversa de $sen_k(x): [-\tau/4, \tau/4] + k\tau/2 \longleftrightarrow [-1,1]$ por costumbre se ha llamado arco seno, y la definimos como $arcsen(x): [-1,1] \longleftrightarrow [-\tau/4, \tau/4]$, para extender la inversa de cada una, tenemos que $arcsen_k(x): [-1,1] \longleftrightarrow [-\tau/4, \tau/4] + k\tau/2$
En ese caso, si tenemos un número entre $x \in [-1,1]$, podemos obtener que $sin(x) = y$ $\Leftrightarrow$ $x = arcsin(y) + k\tau \ \ k \in \Bbb{Z}$ debido a la peridicidad ($sin(x) = sin(x + k\tau)$), y debido a la simetría ($sin(x) = sin(\tau/2 - x)$), además $x = \tau/2 - arcsin(y)$, por tanto para despejar la función tenemos que $x = arcsin(y) + k\tau, \tau/2 - arcsin(y) + k\tau \ \ k \in \Bbb{Z}$
Si repetimos este proceso para $cos_k(x): [0, \tau/2] + k\tau/2 \longleftrightarrow [-1,1]$ y $tan_k(x): ]-\tau/4, \tau/4[ + k\tau/2 \longleftrightarrow \Bbb{R}$ podemos representar sus inversas en esta tabla:
$sin(x) = y$ $\ \Leftrightarrow \ $ $x = arcsin(y) + k\tau, \tau/2 - arcsin(y) + k\tau/2 \ , \ \ k \in \Bbb{Z}$ |
$cos(x) = y$ $\ \Leftrightarrow \ $ $x = \pm arccos(y) + k\tau \ , \ \ k \in \Bbb{Z}$ |
tan(x) = y $\ \Leftrightarrow \ $ $x = arctan(y) + k\tau/2 \ , \ \ k \in \Bbb{Z}$ |