Curvas Planas
Ecuación de la curva
Una curva $C$ plana puede expresarse de las siguientes formas (paramétrica, explícitas e implícita) $$C \ \equiv \ \left\{ \begin{matrix} x = x(t) \\ y = y(t) \end{matrix} \right\} \ \equiv \ C(t) = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \ \equiv \ y = y (x) = C(x) \ \equiv \ f(x, y) = 0 $$ Si en algún punto se anula la derivada, se llama punto singular.
Regular
Si es implícita de clase $y \in \mathcal{C}^2$ o si $$C'(t) \neq 0 \ \vee \ \nabla f \neq 0 $$
Recta tangente
Para obtener la recta tangente nos hace falta un punto de ella, $P = C(t_0) = (p_1, p_2) \, ,\ t_0 \in \Bbb{R}$ y un vector tangente a la curva $U = (u_1, u_2)$. El vector lo obtendremos de diferentes formas dependiendo de como venga la ecuación, y una vez lo tengamos la recta en paramétrica es $$R_T \quad \equiv \quad X = P + t \, U \quad \equiv \quad \left\{\begin{matrix} x = p_1 + t \, u_1 \\ y = p_2 + t \, u_2 \end{matrix}\right\}_\cap \quad ,\ t \in \Bbb{R}$$ También puede obenerse la recta tangente de forma implícita con la ecuación continua $$\frac{x-p_1}{u_1} = \frac{y-p_2}{u_2} \quad \equiv \quad u_1 (y-p_2) = u_2 (x - p_1)$$
Ecuación paramétrica
La dirección que toma en ese punto es fácil derivando respecto de t es $U = C'(t_0) = (u_1, u_2) $ y usamos $R_T \quad \equiv \quad X = P + t \, U$
Ecuación explícita
La dirección que toma en ese punto se calcula derivando desde el parámetro, teniendo cuenta que este también se deriva y vale 1. Por ejemplo, respecto de x sería $U = C_x(p_1) = (1,\, y'(p_1)) = (u_1, u_2) $. La ecuación queda tal que así $$R_T \quad \equiv \quad y - y(a) = y'(a) (x - a)$$
Ecuación implícita
Cambia que el vector tangente es perpendicular al gradiente $U = \nabla f(P)^\perp = (-f_y(P),\, f_x(P)) $ También puede resolverse el sistema derivando respecto a t $x = x(t)$, $y = y(t)$, añadiendo que la solución tenga norma 1 $$ \left[ \left\{ \begin {matrix} \partial_t f = 0 \end{matrix} \right\}_{\cap} \right]_{X = P} $$ Y la ecuacion queda $f_x(P) (x - p_1) + f_y(P) (y - p_2) = 0 $
Recta normal
Se calcula igual que la tangente pero con su vector normal $N = U^\perp = (-u_2,\, u_1)$
Vectores
Longitud de arco
$$ lon(C) = l(C) = \int_{t = a}^b |C '(t)|$$
Parametrizado por arco (ppa) $\Gamma(s)$
El parámetro longitud de arco $s(t)$ sirve para simplificar las ecuaciones, ya que el módulo de la derivada es uno. Para hayarlo tenemos que: $$s(t) = \int_{u=a}^t |C'(u)| $$ Una vez lo obtenemos, podemos modificar la curva $C(t)$ por la ppa $\Gamma(s) = C(s^-(t))$, y así $|\Gamma'(s)| = 1$.
Diedro de Frenet
Es el conjunto de vectores {T, N}. Tambíen se le conoce como referencia de Frenet. Solo existen si $C' \nparallel C''$ la primera y segunda derivada existen y son linealmente independientes (y por tanto, ninguna de ellas cero). Los vectores son normales (tienen módulo 1).
Vector tangente T
En los vectores dependiendo de si es ppa o no cambia la ecuación, pero finalmente se obtiene el mismo vector. $$T(t) = \frac{C'}{|C'|} \quad \quad T(s) = \Gamma\,' $$ La derivada de la curva puede obtenerse también como $C'(t_0) = \nabla f(P) ^ \perp = (-f_y(P),\, f_x(P))$ y como $C_x(P) = (1, y'(p_1))$
Vector normal N
Se obtiene a partir del tangente, calculando su perpendicular, de forma que $$N(t) = T(t)^\perp = (-t_2,\, t_1 )$$ Puede obtenerse más rápidamente de forma implícita ya que $N = \nabla f$
Fórmulas de Frenét
Curvatura $\kappa$
El vector curvatura K sigue la dirección de la normal, e indica cuanto se va girando la tangente $$ K = \theta'(s)$$ Por otra parte, si tiene que calcularse de forma general para cualquier curva (incluida una ppa), se sabe que tiene la dirección de la normal N, y el módulo se llama curvatura $\kappa$, es decir, $K = \kappa \, N$ siendo $$\kappa(s) = \frac{1}{|C'|^3} \begin{vmatrix} c'_1 & c'_2 \\ c''_1 & c''_2 \end{vmatrix} \quad \kappa(s) = \begin{vmatrix} \gamma'_1 & \gamma'_2 \\ \gamma''_1 & \gamma''_2 \end{vmatrix}$$ Si se tiene en implícita o explícita se puede calcular como $$ k(t) = \frac{y''}{|1 + y'|^3} = - \frac{f_x^2 f_{yy} + f_y^2 f_{xx} - 2 f_x f_y f_{xy} }{|\nabla f|^3}$$
Sea $\Gamma(s)$ una curva ppa, se cumplen las siguientes ecuaciones $$\begin{matrix} T' &=& & \kappa \cdot N \\ N' &=& - \kappa \cdot T & \end{matrix}$$
Circunferencia Osculatriz
En un punto $P = C(t_0) = \Gamma(s_0)$ , es la circunferencia con radio de curvatura $ r = \frac{1}{\kappa}$ y de centro $Q = P + r\,N$.
Evoluta
Es la curva que se crea al mover los centros de la circunferencia osculatriz, y está determinado por la ecuación $$X = \Gamma(s) + \frac{N}{\kappa(s)}$$
Referencias
Geometría diferencial de curvas y superficies [A Montesdeoca]