Topología Algebraica
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Presentación de grupos
Un grupo es un conjunto con una relación binaria $(G, \cdot)$ que es cerrado, asociativo, tiene identidad e inverso. Aquí hablaremos de grupos no abelianos, y notaremos por inverso con $a^-$, siendo el 1 el elemento neutro: $aa^- = 1 = a^-a$
Una presentación de un grupo es un par ordenadode conjuntos $\langle S | R \rangle = \langle a,\, b,\, c,\, \ldots | r_1,\, r_2,\, \ldots \rangle$ donde S es un conjunto cualquiera, y R es un conjunto de elementos del grupo libre $R \in \mathcal{L}(S) = \{ \prod a_i \ : \ a_i \vee a_i^- \in S \}$.
A los elementos de S se le llaman generadores. Y a los elementos de R relaciones.
Todo grupo admite una representación $(G, \cdot) \simeq \langle G | R \rangle$, lo importante es que sea eficaz (los conjuntos sean pequeños).
Variedad
Una variedad topologica de dimensión n es un espacio topológico $(X, \mathcal{T})$ que es Hausdorff y 2AN, donde cada punto es homeomorfo a $\Bbb{R}^n$, $(X, \mathcal{T}) simeq (\Bbb{R}^n, \mathcal{T}_u)$ donde una base de la topología son las bolas abiertas $B_r(p)$.
Una superficie es una variedad topologica de dimensión 2$.
Superficies compactas
Esfera $\Bbb{S}^2$
Presentación: $\langle a \ | \ aa^- \rangle = \langle a,\, b \ | \ aa^-bb^- \rangle$
Es homeomorfa al disco unidad $\Bbb{D}^2 = \{ (x,y) \in \Bbb{R}^2 \ | \ |x,y|<=1 \}$ bajo la relación de equivalencia $(x,y) \sim (-x, y)$ si $(x,y) \in Fr(\Bbb{D}^2)$ y la presentación es $\langle a \ | \ aa^- \rangle$
También es homeomorfo al cuadrado $[0,\,1]^2$ bajo la relación de equivalencia $(0,t) \sim (t, 0)$ y $(1,t) \sim (t, 1)$ con $t \in [0,1]$. La presentación para esta relación es es $\langle a,\, b \ | \ aa^-bb^- \rangle$
Toro $\Bbb{T}^2$
Presentación: $\langle a,\, b \ | \ aba^-b^- \rangle$ como $aba^-b^- = 1$ ; $ab = ba$ es un grupo conmutativo
Es homeomorfo al cuadrado $[0,\,1]^2$ bajo la relación de equivalencia $(0,t) \sim (1, t)$ y $(t,0) \sim (t, 1)$ con $t \in [0,1]$.
Plano proyectivo $\Bbb{RP}^2$
Presentación: $\langle a \ | \ aa \rangle = \langle a,\, b \ | \ abab \rangle$
Es homeomorfa al disco unidad $\Bbb{D}^2 = \{ (x,y) \in \Bbb{R}^2 \ | \ |x,y|<1 \}$ bajo la relación de equivalencia $(x,y) \sim (-x, -y)$ y la presentación es $\langle a \ | \ aa \rangle$
También es homeomorfo al cuadrado $[0,\,1]^2$ bajo la relación de equivalencia $(0,t) \sim (1, 1-t)$ y $(t,1) \sim (1-t, 0)$ con $t \in [0,1]$. La presentación para esta relación es es $\langle a,\, b \ | \ aabb \rangle$
Botella de Klein $\Bbb{K}^2$
Presentación: $\langle a,\, b \ | \ aba^-b \rangle$
También es homeomorfo al cuadrado $[0,\,1]^2$ bajo la relación de equivalencia $(0,t) \sim (1, t)$ y $(t,1) \sim (1-t, 0)$ con $t \in [0,1]$. La presentación para esta relación es es $\langle a,\, b \ | \ aabb \rangle$
Suma conexa
Se nota por $M_1 \# M_2$ y tiene la presentación $\langle S_1 | R_1 \rangle \# \langle S_2 | R_2 \rangle = \langle S_1 \cup S_2 | R_1, R_2 \rangle$
Referencias
Topología Algebraica [M Macho]
Notas de Topología Algebraica [E Gabriel]