Figuras Planas y Cuerpos Geométricos
Vamos a clasificar los diferentes tipos de elementos geométricos que históricamente tienen nombre propio por su importancia en diversos problemas.
Figuras Planas
Una Figura Plana es un conjunto de curvas unidas dos a dos por sus extremos. A cada extremo de la curva se le llama vértice, si dos curvas se cruzan entre sí se crea un punto de auto-interseción. Los trozos de curva delimitados por dos puntos (vértices o auto-intersección) se llaman lados. Y las regiones delimitadas por lados se llaman caras.
Para las figuras geométricas, una curva es una línea continua finita que varía de dirección de forma suave, lso puntos donde empieza y acaba se llaman extremos. Un caso particular de cuva es el segmento que es una curva que no cambia de dirección.
La longitud de una curva es una magnitud física, que nos dice cuantas unidades (como metros, km ó cm) mide dicha curva.
Teorema: La recta es la curva con menor longitud que une dos puntos.
Teorema de la curva de Jordan (Generalizado): Todo curva cerrada (y por tanto, toda figura plana) separa al plano que la contiene en una región acotada, que se llama interior y otra no acotada, el exterior.
Para saber si una cara es interior o exterior, se escoge un punto de ella, y se traza una semirecta en cualquier dirección (de forma que no atraviese un vértice), si corta a la curva un número par de veces (0,2,4,...), está en el exterior, si lo corta un número impar de veces (1, 3, ...) está en el interior.
Se dice que una figura plana es Simple si no tiene puntos de auto-intersección. Una figura es Complejo si no es simples, es decir, si tiene puntos de auto-intersección.
Característica de Euler (para figuras planas): Todo figura plana cumple esta ecuación
$$Caras + Vértices = Lados + 2$$
Donde las caras son cada una de las regiones separadas por las curvas (incluida la cara exterior) y el número de vértices incluye a las auto-interseciones en el caso de las figuras complejas.
Teorema: Toda figura compleja puede descomponerse en varios figuras simples. Para ello cada punto de intersección se convierte en un vértice compartido.
Una figura simple es Estrellada si podemos encontrar un punto desde el que conectar con una línea recta todos los lados sin salirnos del interior.
Una figura simple es Convexa si para todos los puntos de su interior podemos conectar con una línea recta todos los lados sin salirnos del interior. Una figura que no es convexa se llama Cóncava
Una figura es Equilátera si todos sus lados miden lo mismo.
Una figura es Equiángula si todos sus ángulos miden lo mismo.
Un lado/vértice es opuesto a otro lado/vertice si son el lado/vértice más lejano.
Dos curvas son Curvas Paralelas si existe una homotecia de razón positiva (o una traslación) que lleva una curva en otra.
Una figura simple es Paralela dos a dos ó Biequilátera si tiene un número par de lados, y sus lados opuestos son paralelos.
Polígonos
Un polígono es una figura plana con lados rectos.
La primera clasificación es en función del número de lados del polígono.
3 lados | Triángulo | 9 lados | Eneágono | |
4 lados | Cuadrilátero | 10 lados | Decágono | |
5 lados | Pentágono | 11 lados | Endecágono | |
6 lados | Hexágono | 12 lados | Dodecágono | |
7 lados | Heptágono | 13 lados | Tridecágono | |
8 lados | Octógono | 14 lados | Tetradecágono |
Propiedad: Todos los ángulos de los polígonos convexos miden menos de 180º.
Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales (es Equilátero y Equiángulo).
Teorema. Todo polígono regular puede inscribirse y circunscribirse en una circunferencia. Para hayar el centro de dicha circunferencia, se pueden trazar dos diagonales desde sus vértices si es par, o trazando la mediatriz de dos lados (esta recta pasará por el vértice opuesto).
El área de un polígono regular de $n$ lados puede calcularse de varias formas. A partir de su perímetro $p$ y su apotema $a$, solo a partir de su lado $l$ o solo con su radio $r$
$$A_n = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{n \cdot r^2}{2} \cdot sen\left(\frac{360^{o}}{n}\right) = \frac{n \cdot l^2}{4 \cdot tan (180^{o}/n)}$$ |
La suma de los ángulos interiores de un polígono puede calcularse dividiéndolo en triángulos, si es convexo, se puede hacer escogiendo todas las diagonales de un vértices, si es cóncavo con un solo vértice mayor de 180º, se puede escoger ese vértice. Si es cóncavo con varios vértices, habrá que escoger alguna estrategia más sofisticada.
Cualquier polígono de $n$ lados puede divirse en $n-2$ triángulos, por lo que la suma de sus ángulos es $180^{o} \cdot(n-2)$, por lo tanto, su ángulo interior es $180^{o} \frac{\cdot(n-2)}{n}$
El número de diagonales de un polígono puede calcularse a partir del número de lados con $N_d = \frac{n(n-3)}{2}$. Y la fórmula sale a partir de el número de vértices que tiene $n$, por el número de vértices no contiguos incluyéndose él mismo $n-3$, y quitando las repeticiones, porque se cuentan todos dos veces $\cdot 1/2$.
No todos los polígonos regulares se pueden construir de forma exacta con regla y compás. Para ello, el número de lados tiene que ser múltiplo de 2 y de un número primo de Fermat (3, 5, 17, ...) solo una vez. Por ello no se pueden construir los polígonos regulares de 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, ... lados
Para calcular el área conociendo solo el lado, se pueden utilizar técnicas especiales para el hexágono y el octógono conociendo las siguientes propiedades.
Propiedad: El radio de la circunferencia circunscrita del hexágono es igual a la de su lado.
Demostración El radio a partir del lado es $r cos(180^{o}/6) = l/2$; $r \cdot 1/2 = l/2$ ; $r = l$. Entonces $A_n = \frac{6 \cdot l^2}{2} \cdot sen\left(\frac{360^{o}}{6}\right) = 3 \cdot l^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot l^2$
Propiedad: Un hexágono puede convertirse en dos rectángulos quitando dos triángulos de la parte superior, ya que al tener un ángulo interno de 45º son triángulos isósceles, y se pueden colocar de forma que nos de el área sin usar funciones trigonométricas.
Demostración El área es la suma de los rectángulos $(x + l + x)\cdot(x+l) + l\cdot x$, donde $x$ es la altura del triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa l, es decir $x = l/\sqrt{2}$. Sustituyendo $(2l/\sqrt{2} + l) \cdot (l + l\sqrt{2}) + l^2/\sqrt{2}$ sacando factor común $l^2 ((\sqrt{2}+1)^2+1/\sqrt{2}) = l^2 (2 + 1 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2}/2) = \frac{6 + 5\sqrt{2}}{2} \cdot l^2$
Dentro de los triángulos y los cuadriláteros, estos a su vez se clasifican en función de sus lados y de sus ángulos. Para ello diremos que dos lados son iguales si miden la misma longitud, y dos ángulos son iguales si miden los mismos grados.
Triángulos
Propiedad: Todos los triángulos son convexos.
Postulados de Congruencia: Se puede construir un único triángulo que tenga 3 lados con una longitud dada, ó equivalentemente, que tenga dos lados y un ángulo (menor de 180º) ó un lado y dos ángulos dados (y sumen menos de 180º).
Nota: Si tiene tres ángulos no puedes construirlo porque puede tener cualquier tamaño, siempre te hace falta como mínimo un lado. Y si conoces 2 ángulos, conoces todos los ángulos fácilmente si usas que la suma de todos los ángulos es 180º, $\alpha + \beta + \gamma = 180^{o}$
Los postulados de congruencia cobran sentido matemático con los teoremas del seno y del coseno.
Teorema del seno sean a,b,c la longitud de cada lado de un triángulo, y sean $\alpha, \beta, \gamma$ los ángulos opuestos a cada lado, se cumple que el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante, e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
$$\frac{a}{sen(\alpha)} = \frac{b}{sen(\beta)} = \frac{c}{sen(\gamma)}$$ |
Por este teorema, podemos sacar varias propiedades
Propiedad: Un triángulo es isósceles si tiene dos lados iguales, equivalentemente, si tiene dos ángulos iguales.
Propiedad: Un triángulo equilátero (que tiene todos los lados iguales), es equiángulo (tiene todos sus ángulos iguales) y viceversa. Y cada ángulo mide $180^{o}/3 = 60^{o}$.
El teorema del seno resuelve las medidas del triángulo en la mayoría de los casos en los que hay mezcla de ángulos y lados, pero en los más complicados, como cuando se desconocen todos los ángulos, se necesita además el siguiente teorema.
Teorema del coseno sean a,b,c la longitud de cada lado de un triángulo, y sean $\alpha, \beta, \gamma$ los ángulos opuestos a cada lado. Entonces se cumple
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$ |
Un caso particular es cuando el ángulo es recto $\gamma = 90^{o}$, entonces $\cos(\gamma) = 0$ y es lo que se conoce como Teorema de Pitágoras: $h^2 = a^2 + b^2$, donde h es la hipotenusa, a es la altura y b la base. De este teorema se sacan también algunas propiedades:
Desigualdad Triangular: La suma de dos lados siempre es mayor o igual que el del tercer lado. $c \leq a + b$. Se da la igualdad si el triángulo está degenerado ($\gamma = 180^{o} \Rightarrow \alpha, \beta = 0$).
Demostración $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot \cos(\gamma) \leq a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2$ ; $ c^2 \leq (a+b)^2$ ; $c \leq a + b$
Desigualdad Triangular (Generalizada): si tenemos dos elementos en un espacio normado, $|x+y| \leq |x| + |y|$. Se da la igualdad si están alineados ($x = \lambda y$ , $\lambda \in \Bbb{R}^{\ast}$).
Desigualdad Triangular Inversa: La diferencia de dos lados siempre es menor o igual que el tercer lado. $c \geq |a - b|$. Se da la igualdad cuando el triángulo está degenerado (a ó b = 0).
Demostración $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot \cos(\gamma) \geq a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$ ; $ c^2 \leq (a-b)^2$ ; $c \geq |a - b|$
Desigualdad Triangular Inversa (Generalizada): si tenemos dos elementos en un espacio normado, $||x|-|y|| \leq |x-y|$. Se da la igualdad si uno de los dos es cero.
Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos. Leyéndose primero el tipo de lado, y luego el tipo de ángulo, por ejemplo: Triángulo Acutángulo Isósceles. Aunque puede que en los problemas no nos den tanta información.
Se puede ver la clasificación de los triángulos en la wikipedia.
Según sus ángulos | ||||
Acutángulo Todos los ángulos agudos (< 90º) |
Rectángulo   Un ángulo recto   (90º) |
Obtusángulo Un ángulo obtuso  (>90º) |
||
S e g ú n s u s l a d o s |
I   d      s   o    i ó   s   g s        u c    l    a e   a    l l    d   e e   o   s s   s      |
|||
           l
E        a s   n   d c    i    o a   n      l    g    i e   ú   g n   n   u o        a            l |
El caso especial en el que un triángulo acutángulo isósceles tiene todos los lados iguales, se llama triángulo equilátero y es también equiángulo (tiene todos los lados y ángulos iguales).
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Veamos Cómo se clasifican en función de sus propiedades.
Trapezoide Tienen todos sus lados distintos. Eso no impide que tengan dos ángulos contiguos iguales, dos ángulos opuestos iguales, que sean cóncavos (un ángulo mayor de 180º), o que sean complejos, y sean trapezoides cruzados.
Trapecio Tiene dos lados paralelos (por lo tanto, los dos lados tienen que ser opuestos, sino sería un triángulo). Dentro de ellos se pueden clasificar por ser rectángulos (que al ser paralelos, tienen 2 ángulos rectángulos), isósceles y isósceles cruzado (con sus ángulos contiguos iguales dos a dos), con 3 lados iguales (ángulos contiguos iguales dos a dos) y cruzado con 3 lados iguales (que tiene todos los ángulos iguales).
El área de un trapecio convexo (y por tanto la de cualquier cuadrilatero derivado de ellos) se puede calcular como la media de las bases paralelas por la distancia entre ellas (altura) $\displaystyle A_{Tra} = \frac{\textrm{Base mayor} + \textrm{Base menor}}{2} \cdot \textrm{altura} = \frac{b+d}{2} h$
Paralelogramos Es la clase de triángulos que tienen lados opuestos paralelos. El romboide es el caso más general, y al tener los lados paralelos, tienen los ángulos opuestos iguales, y los lados opuestos iguales. Si al romboide le añadimos contiguos iguales, entonces, todos son iguales, y tenemos un rectángulo, y si al romboide le añadimos que tenga todos los lados contiguos iguales, entonces, todos los lados son iguales, y tenemos el rombo. Añadiendo al rectángulo que los lados contiguos sean iguales, o al rombo que los ángulos contiguos sean iguales obtenemos el cuadrado.
El área de un pralelogramo se puede calcular como uno de los lados por la distancia de su otro lado paralelo (altura) $\displaystyle A_{Par} = \textrm{base} \cdot {altura}$
Cometa Es el nombre que se le da coloquialmente a los cuadriláteros cuyas diagonales son perpendiculares. Para ello hace falta que la suma del cuadrado de sus lados opuestos sea igual $a^2 + c^2 = b^2 + d^2$. Si a una cometa le pedimos que tenga 2 lados contiguos iguales, obtendrendo el deltoide (que tiene lados contiguos iguales dos a dos), si le añadimos que los lados sean paralelos, obtendremos el rombo, y de ahí con los ángulos iguales el cuadrado.
El área de una cometa (y por tanto la de cualquier cuadrilatero derivado de ellos) se puede calcular como el producto de las diagonales (u,v) entre dos $\displaystyle A_{Com} = \frac{\textrm{Diagonal mayor} \cdot \textrm{Diagonal menor}}{2} = \frac{u + v}{2}$
Tangencial Un cuadrilátero es tangencial si puede puede inscibir un círculo tangente a sus lados. Para ello es necesario que sea convexo y la suma de los lados opuestos sea igual $a + c = b + d$. Son tangenciales los deltoides (y sus derivados) y los trapecios cruzados equiángulos.
El área de un cuadrilátero tangencial se puede calcular con el radio del cículo inscrito (r) y su perímetro (p) $A_{Tan} = \frac{\textrm{Perímetro} \cdot \textrm{Radio}}{2} = \frac{p \cdot r}{2}$
Cíclico Un cuadrilátero es cíclico si puede inscribir dentro de un círculo (Solo pueden ser cíclicos los cuadriláteros convexos). Para ello es necesario que la suma de los ángulos opuestos sea 180º. Son cíclicos los trapecios isósceles (y sus deriados) y los trapecios cruzados equiángulos.
El área de un cuadrilátero cíclico se puede calcular con la fórmula de Brahmagupta, que es una extensión de la fórmula de Herón para triángulos, siendo s el semiperímetro (perímetro entre dos) $A_{Cic} = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ $A_{Cic} = \frac{1}{4} \sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}$
Teorema de Ptolomeo Un cuadrilátero es cíclico si y solo si cumple que el producto de sus diagonales (m,n) es igual a la suma del producto de sus lados opuestos. $mn = ac + bd$
Fórmula de Coolidge Cualquier cuadrilátero convexo puede calcularse su área como $A_{Cic} = \frac{1}{2}\sqrt{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - (ac+ + bd + mn)(ac + bd - mn)}$ $ A_{Cic}= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abdc \, cos^2(\frac{\alpha + \gamma}{2})}$
Bicéntrico Un cuadrilátero es bicéntrico si es Tangencial y Cíclico a la vez. Para ello es necesario que la suma de los ángulos opuestos sea 180º y la suma de sus lados opuestos sea igual. Son bicéntricos los deltoides con sus lados opuestos rectos, y los trapecios isósceles cíclicos.
Proposición: Los únicos cuadriláteros acutángulos son los cuadriláteros complejos,
Propiedad: Todos los trapezoides simples son obtusángulos.
Círculos y Elipses