Conjuntos
Naturales | $\mathbb{N} = 1, 2, 3, \ldots$ | Números sin decimales y positivos |
Enteros | $\mathbb{Z} = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ | Números sin decimales con signo |
Racionales | $\mathbb{Q} = \displaystyle \frac{\mathbb{Z}}{\mathbb{N}} = 0, \pm 1, \pm 2/3, \pm 1.5, 2.\overline{3}, 5.\overline{17}, \ldots$ | Números con o sin decimales que pueden representarse como fracciones. Un número con decimales se puede representar como fracción si tiene una cantidad finita de decimales o si son infinitos periódicos (que se repiten indefinidamente) |
Reales | $\mathbb{R} = 0, \pm 2/3, \pm 1.5, \pi, \sqrt{2}, \sqrt{3/5}, \ldots$ | Son todos los números que pueden representarse, incluidos los que tienen infinitos decimales no periódicos (como las raíces, $\pi$ o el número $\mathbb{e}$) |
Complejos | $\mathbb{C} = \mathbb{R} + \mathcal{i}\mathbb{R}$ (donde $\mathcal{i} = \sqrt{-1}$) | Son los números reales más los imaginarios $\mathcal{i}\mathbb{R}$, que permiten expresar las raíces de cualquier polinomio con números, y se representar como coordenadas en un plano, donde el número real es el eje de abcisas y el imaginario el de ordenadas |
Axiomas de los Reales $\mathbb{R}$
Los axiomas son las mínimas propiedades necesarias sobre la que se sustenta una estructura matemática. Los números reales son un cuerpo con la suma y la multiplicación, y se escribe así $(\mathbb{R}, +, \cdot )$ porque cumplen estas propiedades:Suma | Producto | |
---|---|---|
Asociativa | $a + b = b + a$ | $a \cdot b = b \cdot a$ |
Elemento neutro | $a + 0 = a$ | $a \cdot 1 = a$ |
Opuesto / Inverso | $a + (-a) = 0$ | $a \cdot a^{-1} = 1$ $\ \ $ $(\forall a \neq 0)$ |
Distributiva del producto sobre de la suma |
$n \cdot (a + b) = n \cdot a + n \cdot b$ | |
Conmutativa | $a + b = b + a$ | $a \cdot b = b \cdot a$ |
Elemento neutro para la base |
$a^1 = a$ |
Distributiva del exponente sobre el producto de las bases |
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ |
Distributiva de la base sobre la suma de exponentes |
$a^{(n+m)} = a^n \cdot a^m$ |
- Un número natural se crea contando de uno en uno $\displaystyle a = \stackrel{a \ veces}{\overbrace{1+1+\ldots+1}} = \sum_{n=1}^{a}{1}$ (se lee: Sumatoria desde 1 hasta a de 1, y $\sum$ es la S mayúscula griega)
- La suma de dos números, es seguir contando a partir del primero $\displaystyle a + b = a + \stackrel{b \ veces}{\overbrace{1+1+\ldots+1}} = a + \sum_{n=1}^{b}{1}$
- El producto entre dos números, es sumar el segundo tantas veces como el primero $\displaystyle a \cdot b = \stackrel{a \ veces}{\overbrace{b+b+\ldots+b}} = \sum_{n=1}^{a}{b}$
- La potencia de un número elevado a otro, es multiplicar la base tantas veces como indica el exponente $\displaystyle a^n = \stackrel{n \ veces}{\overbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}} = \prod_{k=1}^{n}{a}$ (se lee: Productoria desde 1 hasta n de a, y $\prod$ es la P mayúscula griega)
Esta construcción es la que genera la prioridad de las operaciones:
|
Operaciones recíprocas
Estas son las operaciones que deshacen de alguna manera las operaciones usuales, y son:Resta | Sumar el opuesto | $a + (-b) = a - b$ |
División | Multiplicar por el inverso | $a \cdot b^{-1} = a / b$ |
Logaritmo | Extraer el exponente | $log_b (b^a) = a$ |
Raíz | Extraer la base | $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ |
Equivalencias de los axiomas para las funciones recíprocas
Resultados con 0 y 1
Fracciones
Exponentes
Raíces
Logaritmos
Resta | División | |
---|---|---|
Asociativa | $a - ( b -c) = a -b + c$ | $a / ( b / c) = a /b \cdot c$ |
Elemento neutro | $a - 0 = a$ | $a / 1 = a $ |
Opuesto/Inverso | $- (-a) = a$ | $ (1/a)^{-1} = a $ |
Distributiva de la división sobre de la resta |
$$\frac {a - b}{n} = \frac{a}{n} - \frac{b}{n}$$ | |
Conmutativa | $a - b = -b + a$ | $$a / b = \frac{1}{b} \cdot a$$ |
$-a = (-1) \cdot a$ | $a \cdot 0 = 0$ | $0 / a = 0 \ $ | $0^n = 0$ | $1^n = 1$ |
$a^0 = 1$ | $\sqrt[n]{0} = 0$ | $\sqrt[n]{1} = 1$ | $log_b(1) = 0$ | $log_b(b) = 1$ |
$$\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n}$$ | $$\frac{a}{n} + \frac{b}{m} = \frac{am + bn}{nm}$$ | $$\frac{a}{n} \cdot \frac{b}{m} = \frac{a+b}{n}$$ |
$$\frac{a}{n} / \frac{b}{m} = \frac{am}{nb}$$ | $$\frac{\frac{a}{n}} {\frac{b}{m}} = \frac{a/n}{b/m} = \frac{am}{nb}$$ |
$a^{-1} = \frac{1}{a}$ | $(a^n)^m = a^{n\cdot m}$ | $$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$ |
$$a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$$ | $$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$ | $$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$$ |
$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$ | $$\sqrt[n]{c^a} \cdot \sqrt[m]{c^b} = c^{\frac{a}{n} + \frac{b}{m}} = \sqrt[n \cdot m]{c^{am + bn}}$$ |
$$b^{log_b(a)} = a $$ | $$log_b(a) = \frac{log_a(b)}{log_a(b)} $$ | $$log_b(a \cdot c) = log_b(a) + log_b(c)$$ |
$$log_b(a^n) = n \cdot log_b(a)$$ | $$log_b(a / c) = log_b(a) - log_b(c)$$ | $$log_b(\sqrt[n]{a}) = \frac{log_b(a)}{n}$$ |