Plano Proyectivo
La historia del plano proyectivo está ligada al problema del pintor. Un pintor tiene que transformar todo lo que está viendo en 3 dimensiones ($\Bbb{R}^3$) en un lienzo de 2 dimensiones (un plano de $\Bbb{R}^3$ ó $\Bbb{R}^2$). Para ello, el pintor se fija en una parte del espacio, y las figuras que están más cercanas las plasma con colores en el lienzo.
Con esta idea, los matemáticos se acercan al problema con aparentemente mayor complejidad que proyectar $\Bbb{R}^3$ en $\Bbb{R}^2$, pero lo hacen de esta forma porque las cuentas son más sencillas, y da lugar a resultados muy interesantes.
Para entender la idea, la metáfora es la siguiente. Si el pintor es un matemático, se colocará en el centro del universo, y sus coordenadas serán las del origen $O=(0,0,0)$, lo que será el foco. Y como sabe que puede hacerlo, en cada pincelada en el lienzo no va a pintar solo lo que observa en una dirección, sino que va a pintar todos los puntos del espacio ($\Bbb{R}^3$) que estén alineados desde su punto de vista. Así, el ambicioso matemático, podrá pintar todo el espacio, excepto el punto del origen, porque es desde donde él observa.
Vayámos dándole forma. Nuestro lienzo, va a ser un plano, el que queramos, y por costrumbre o comodidad, se suele usar $\Pi_z \equiv z = 1$. Entonces, un punto dibujado en ese plano, se corresponde con todos los puntos alineados con él, es decir, con la recta de $\Bbb{R}^3$ que pasa por el origen, y por el punto $P = (p_1, p_2,1)$ del plano $\Pi_z$
Aunque no sea de gran importancia en la idea de plano proyectivo, la recta que pasa por el punto $P = (p_1, p_2, 1)$ y por el origen está descrita por las siguientes ecuaciones
$$r_{p} \equiv \left\{ \begin{matrix} x = p_1 \lambda \\ y = p_2 \lambda \\ z = \lambda \end{matrix}\right\}_\cap \equiv \left\{ \begin{matrix} x = p_1 z \\ y = p_2 z \end{matrix}\right\}_\cap$$
Para casi cualquier punto $Q=(q_1, q_2, q_3)$ del espacio $\Bbb{R}^3$ podemos llevarlo al plano $\Pi_z$ con una proyección con $\displaystyle Q' = \left(\frac{q_1}{q_3}, \frac{q_2}{q_3}, 1 \right)$. El problema está cuando la tercera coordenada vale cero $q_3 = 0$, ya que la recta que une el origen con el punto es paralela al plano $\Pi_z$.
Cuando esto ocurre, se dice que es un punto del infinito. Sin embargo, ese punto existe en el espacio, y es más, si cambiáramos el lienzo de sitio, y escogiéramos otro plano, por ejemplo $\Pi_y \equiv y = 1$, todos los puntos que antes no podíamos pintar en nuestro primer lienzo, ahora si podemos porque nos hemos girado hacia la dirección que no podíamos ver.
Para cualquier plano que escojamos para pintar, tendremos unos cuantos de puntos que no se pueden dibujar, pero que sabemos que existen, y a pesar de que para dibujarlos están en el infinito de nuestro lienzo, en el espacio puede que estén incluso cerca de nosotros.
Para dibujar esos puntos del infinito, podemos usar la idea de proyección estereográfica un pelín modificada. La proyección estereográfica lleva los puntos de un plano a una esfera, y viceversa, y es interesante como forma de representar la superficie de la Tierra por ejemplo. Si vemos como llevar los puntos de un plano a la esfrea, podemos llevar entonces los puntos del espacio a la esfera, y entender el plano proyectivo como si cogiéramos esa esfera y la aplastáramos.
Supongamos que tenemos una curva en el espacio, la hemos proyectado sobre un plano cualquiera, y ahora cogemos ese plano, y hacemos otra copia de él en otro folio, y tumbamos el plano sobre el suelo $\Pi_0 \equiv z=0$, Y vamos a dibujar también una esfera de radio 1 por ejemplo $\Bbb{S}^2 = \{ (x,y,z) \in \Bbb{R}^3 \ : \ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \}$. (Básicamente estamos haciendo traslaciones y rotaciones del plano sobre el que estábamos trabajando, para ponerlo en una posición que sea más fácil para hacer cuentas.)
Ahora, cogemos el foco, y el truco para entender el plano proyectivo es modificar el foco usual de la proyección estereográfica que es el norte, y cogerlo más abajo, y poquito, un $\varepsilon > 0$, para hacerlo intutivo supongamos que un poco es $\varepsilon = 0.1$. Entonces, tenemos una esfera sin la parte de arriba, como si abrieras una calabaza y la vaciaras, y la llamamos esfera proyectiva $\Bbb{S}^2_p = \{ (x,y,z) \in \Bbb{R}^3 \ : \ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \ \wedge \ z \leq 1-\varepsilon = 0'9 \}$. Nosotros que estamos como observadores, que somos el foco, nos situamos debajo del norte, en el punto $N_\varepsilon = (0,0,1-\varepsilon) = (0,0, 0'9)$
Los curvas que se van alejando hacia el fin del plano, y que representan puntos del infinito, se van acercando a nuestro corte en la esfera. De hecho, si le aplicamos las trasformaciones a todo el espacio, y lo colocamos de forma que nos sea más sencillo trabajar para la esfera, podemos dibujar desde el foco $N_\varepsilon$ los puntos de la curva sobre la esfera, y cuando nos encontramos con los puntos del infinito, podemos dibujarlos sobre el corte que le hemos hecho.
Al dibujar la recta sobre el corte, observamos que para un punto del espacio, interseca con dos puntos del corte de la esfera, esto es porque los dos puntos representa la misma recta, y se puede hacer una identificación, o una relación de equivalencia (como la de las fracciones). De forma que el plano proyectivo queda mucho mejor identificado con la esfera proyectiva $\Bbb{S}^2_p$ que con el plano proyectivo $\Bbb{RP}$, solo que el plano proyectivo es mucho más fácil para trabajar.
Los puntos que no se pueden dibujar en el plano proyectivo, ahora se encuentran en el círculo proyectivo, y son dobles, y representan la recta del infinito. El círculo del infinito $\Bbb{S}^1_p = \{ (x,y,z) \in \Bbb{R}^3 \ : \ x^2 + y^2 + z^2 = 1 \ \wedge \ z = 1-\varepsilon = 0'9 \}$ tiene este grupo $< a, a = a^{-1} >$ que representa que los puntos antípodas son equivalentes.
Una vez tienes los puntos en la superficie de la esfera, puedes contraerla a un círculo proyectando la esfera proyectiva desde el norte $N=(0,0,1)$, dejando un círculo de radio $x^2 + 0^2 + (1-\varepsilon)^2 = 1$ ; $x = \sqrt{2\varepsilon - \varepsilon^2}$, la recta que pasa por N y $(\sqrt{2\varepsilon - \varepsilon^2}, 0, 1-\varepsilon)$.
Con estas trasformciones, podemos llevar la proyeción que hemos hecho del espacio menos el foco, al contenido de un círculo, donde están identificados los puntos antípodas, de forma que si "andáramos" a través de una frontera, apareceríamos en el otro extremo.
Ahora, una recta viene de intersecar un plano en el espacio, con nuestro lienzo (como $\Pi_z$). Y dos rectas paralelas en nuestro nuevo espacio acaban coincidiendo en el mismo punto del infinito. Si el plano es paralelo al plano del lienzo, podemos representarlo con la recta del infinito, que al tener todos los puntos en el infinito, la recta es en la esfera la única que se representa por un círculo, en vez de un semicírculo, porque tiene identificados sus puntos antípodas.
De esta forma, un punto del infinito tiene dos representaciones, nos quedaremos con la mitad en sentido horario, de forma que podemos representar al infinito en dos dimensiones con un ángulo $\alpha \in [0, \tau/2[$, de la forma $\infty_\alpha$.
Dos rectas paralelas, al proyectarlas sobre el círculo proyectivo acaban dentro del mismo ángulo del infinito, y si no pasan por el origen se curvan, llegando a la distancia máxima entre ellas en el origen, y coincidiendo en $\infty_\alpha$. Dos rectas que se cortan tienen puntos distintos en la recta del infinito.
La recta del infinito es la que tiene mayor curvatura, y se podría representar por la frontera del círculo. Pero para que todas las rectas tengan inicio y fin, una vez delimitados cuál es la parte del cuadrante $[0, \tau/2[$ podemos cerrar el conjunto por ese lado, y dejar el círculo abierto por el otro, evitando duplicidades, aunque se mantenga la identificación. Entonces se representa como una semicircunferencia, en la parte que hayamos definido como positiva.
Para hacer ahora álgebra con el infinito proyectivo, $\infty_\alpha$, expandimos la idea de suma de puntos hasta el límite. Si cogemos dos puntos que estén cerca de la frontera de nuestro círculo, y sumamos los vectores, por la regla del paralelogramo nos queda un punto entre los dos, y que no toca la frontera (no vale infinito). Por lo tanto, a la misma distancia del origen, la suma de vectores da un vector con el doble de distancia, y la media de los ángulos. Como el doble de infinito es infinito, lo único que ocurre al sumar infinitos es que se hace la media de los ángulos.
$$\infty_\alpha + \infty_\beta = \infty_{\frac{\alpha + \beta}{2}}$$
Y el producto de vectores depende de cómo esté definido, si es por ejemplo el producto escalar, cualquier punto del infinito te llevará al valor infinito, ya que si usamos esta notación para representar el infinito proyectivo
$$\infty_\alpha \ := \ \infty \cdot (cos\,\alpha, sen \, \alpha) $$
El producto escalar queda multiplicado por la norma y se va a infinito, Y el producto vectorial lleva el vector a otro punto infinito del espacio, al plano infinito. Ya que la idea del plano proyectivo se puede extender a dimensiones superiores, y el conjunto de puntos que no se pueden representar en $\Bbb{R}^n$ y que conforma el cierre, siempre tienen la estructura de una dimensión anteior $\Bbb{R}^{n-1}$. Por eso en la recta hay un punto infinito. En el plano hay una recta infinito, en el espacio hay un plano infinito, y en el hiper-espacio $\Bbb{R}^n$ habrá un hiper-plano $\Bbb{R}^{n-1}$ del infinito.