Producto de Hamilton-Hilbert
Al introducirse en los espacios de Hilbert aparece la definición de producto interior, pero tiene una fuerte conexión con el producto en los números complejos, en los cuaterniones (de Hamilton), y con las matrices
Definamos que es el producto interior de dos cuaterniones. Sean estos cuaterniones $a = (\alpha, \vec{a}) = \alpha + a_1 \textbf{i} + a_2 \textbf{j} + a_3 \textbf{k}$, $b = (\beta, \vec{b}) = \beta + b_1 \textbf{i} + b_2 \textbf{j} + b_3 \textbf{k}$. Y recordemos por un momento las propiedades de los cuaterniones: $\textbf{i}^2 = \textbf{j}^2 = \textbf{k}^2 = -1$, $\textbf{i}\cdot\textbf{j} = k$, $\textbf{j} \cdot \textbf{i} = -k$.
El producto de dos cuaterniones se hace como en los números complejos, multiplicando cada número del primero por todos los demás del segundo. Y la suma se emparejan los que tienen los mísmos índices. El producto de cuaterniones es conmutativo, y su conjugación es $\overline{(\alpha, \vec{a})} = (\alpha, - \vec{a})$
Recordemos por un momento también las demás propiedades del producto de vectores
Producto escalar $\vec{a} \bullet \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$, y con esta definición sabemos que es conmutativo.
Producto vectorial $\vec{a} \,⅄\, \vec{b} = \textbf{i} \cdot \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} - \textbf{j} \cdot \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \textbf{k} \cdot \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}$, y con esta definición sabemos que es anti-conmutativo ($\vec{a} \,⅄\, \vec{b} = - \vec{b} \,⅄\, \vec{a}$).
Entonces definimos el Producto interno de cuaterniones como
$\langle a, b\rangle = b \cdot \overline{a} = (\alpha \beta + \vec{a} \bullet \vec{b} \, , \ \alpha \vec{b} - \beta \vec{a} + \vec{a} \,⅄\, \vec{b})$ |
Si hay confusión, se le puede añadir el subíndice H $\langle a, b\rangle_H$. La elegancia de este operador es que mezcla el producto complejo, con los productos interiores, y los extiende, creando además, una norma, y un producto de Hilbert porque cumple:
- Aditiva: $\langle a + x, b\rangle = \langle a, b\rangle + \langle x, b\rangle$
- Homogénea: $\langle \lambda a , b\rangle = \lambda \langle a, b\rangle$
- Hermítica: $\langle a, b\rangle = \overline{\langle b, a\rangle}$
- Definida Positiva: $\langle a , a\rangle = (\alpha + \beta + \vec{a} \bullet \vec {b}, \vec{0}) \geq \vec{0}$
Y por ello podemos definir la norma como $|a| = \sqrt{\langle a, a\rangle}$
Se puede intuir a falta de probarlo formalmente, que si se quiere representar $\Bbb{R}^2$ solo hace falta coger dos números y meterlos en los cuaterniones, y con esta operación queda definida el producto escalar, y el vectorial en la primera y en la segunda componente.
Ocurre igual en $\Bbb{R}^3$ que para cualesquiera 3 elementos y uno que sea nulo tenemos definido el producto escalar y el vectorial.
Por lo tanto, este producto interior define una norma muy interesante, al funcionar para $\Bbb{R}^2$ y $\Bbb{R}^3$. Habría que estudiar qué ventajas extras tiene además de las coincidencias con las conocidas.
Complejos $\Bbb{C}$ y el espacio euclideo $\Bbb{R}^2$
Este producto lo podemos restringir a dos dimensiones gracias a que $\Bbb{C}$ es cerrado. Entonces, cogiendo la priera coordenada como la real, y la segunda como la de $\textbf{i}$ podemos trabajar bien con ellas. Si cogieramos la pareja $(\textbf{i},\textbf{j})$ el producto vectorial se nos sale a $\textbf{j}$ de forma irremediable, porque hablamos de el producto en tres dimensiones.
$\langle a_1 + a_2 \textbf{i} , b_1 + b_2 \textbf{i} = (a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2, a_1 \vec{b} - b_1 \vec{a} + \vec{a} \,⅄\, \vec{b}) = (a_1b_1 + a_2 b_2 , a_1b_2 - b_2a_1) = |a||b| (cos{\alpha} + \textbf{i}sen{\alpha})$
Donde $a \bullet b = \begin{pmatrix} a_1, & a_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = |a||b| cos{\alpha}$
Y donde $|a \,⅄\, b| = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = |a||b| sen{\alpha}$ es el área (si se pone en valor absoluto)
Y el ángulo $\alpha$ es el que hay entre a y b en sentido horario, de forma que $\alpha = arg(b) - arg(a)$.
Propiedades
- $\langle (\alpha, \vec{0}), (\beta, \vec{0}) \rangle = \alpha \cdot \beta$
- $\langle (0, \vec{a}), (0, \vec{b}) \rangle = (\vec{a} \bullet \vec{b} , \, \vec{a} \,⅄\, \vec{b})$
- $\langle (\alpha, \vec{0}), (0, \vec{b}) \rangle = (0, \alpha \vec{b}) = -\langle (0, \vec{b}), (\alpha, \vec{0}) \rangle$