Cálculo Variacional
Ecuación de Euler-Lagrange
La ecución de Euler-Lagrange busca funciones extremales, es decir, aquellas curvas que maximizan o minimizan la integral $$I = \int_a^b f(t, x, x')$$ Y las funciones que lo cumple son la solución a la ecuacion en derivadas parciales $$f_x = \mathbf{d}_t f_{x'}$$ Destaco la derivada total de t porque esta implica tres derivadas, ya que x y x' también dependen de t, de forma que $\mathbf{d}_t f = f_t + f_x x' + f_{x'} x''$
Una condición necesaria, aunque no suficiente es que la Hessiana de f sea semidefinda positiva, esto es equivalente a que $\partial_{x' x'} f \geq 0$
Segunda ecuación de Euler-Lagrange
Utilizando la definición de derivada total podemos expandir la ecuación de forma que quede $$f_t = \mathbf{d}_t \left( f - f_{x'} x' \right)$$ Que es más útil para las ecuaciones que no tienen variable t, y por lo tanto $f_t = 0$, ya que solo hay que resolver en ese caso integrando que $$x = f_{x'} x' + k \ , \quad k \in \Bbb{R} (cte)$$
La braquistócrona
Este es el ejemplo clave del cálculo de variaciones. Este problema fue planteado en 1638 por Galielo, y fue resuleto años más tarde por Johannes Bernoulli, un poco antes de que lo resolvieran Newton, Leibniz y L'Hôpital entre otros. Fue un problema muy importante en la época, y se empezaron a abordar problemas parecidos en los años siguientes.
Por este problema Lagrange escribió a Euler una carta en 1755 mostrándole cómo resolver de forma general problemas como el de la braquistócrona, con la ecuación que más tarde se llamaría de Euler-Lagrange. El problema resuelto con la ecuación de Euler-Lagrange se hace de la siguiente manera, aunque antes vamos a plantearlo.
Dado un plano vertical que contiene a dos puntos A, B, se busca la trayectoria que tiene que hacer una partícula bajo los efectos de la gravedad para recorrerla en el mínimo tiempo posible.
De forma algo más cercana, se puede plantear como ¿Cómo tiene que ser la curva de un tobogán para llegar antes al suelo? Suponiendo que el rozamiento no entra en acción.
Tenemos que usar las ecuaciones físicas de la gravedad para llegar a nuestra integral. Lo haré con la notación matemática a la vez que con la de física (aunque la de física es más fácil de entender, utiliza teoremas importantes detrás que al no saber qué estamos haciendo se pueden cometer errores)
Finalmente podemos empezar a trabajar a con una ecuación que proviene de un problema conocido, usando el cálculo de variaciones, tenemos esta ecuación
$$t = \int_{x = 0}^{x_1} \sqrt{\frac{1 + y_x^2} {2gx}}$$
Y es de la forma que resuelve la ecuación de Euler-Lagrange $I = \int_t f (t, x, x')$ en este caso, respecto de x, tenemos que es $I = int_x f (x, y, y')$. La ecuación de Euler-Lagrange con las variables $x, y, y'$ nos dice que la solución al problema será la que solucione que
$$ f_y = \partial_x f_{y'}$$
Como la función es $\sqrt{\frac{1 + y_x^2} {x}}$ Derivamos, y tenemos que
$$f_y = 0 \quad f_{y'} = \frac{y_x} {\sqrt{x \, (1 + y_x^2)}}$$
Ahora podemos coger un atajo e integrar ambos miembros de la igualdad de forma que $\int_x 0 = \int_x \partial_x f_{y'} \ ; \ cte = f_{y'} = 1 /\sqrt{2g}$, aunque vamos a hacer los pasos completos para ver que funciona la ecuación. Es una integral larga porque no solo se deriva x, sino también se hace la segunda derivada de $y_x$ ya que depende de x
$$ \partial_x f_{y'} = \partial_x \left(y_x \right) \cdot \frac{1} {\sqrt{x \, (1 + y_x^2)}} + \partial_x \left( \frac{1}{\sqrt{x \,}} \right) \frac{y_x} {\sqrt{ (1 + y_x^2)}} + \partial_x \left( \frac{1}{\sqrt{1 + y_x^2}} \right) \frac{y_x} {\sqrt{x \, }}$$
Obtenemos
$$ \partial_x f_{y'} = \frac{y_{xx}} {\sqrt{x \, (1 + y_x^2)}} - \frac{y_x} {2 x \, \sqrt{x (1 + y_x^2)}} - \frac{y_x^2 \, y_{xx}} { (1 + y_x^2) \, \sqrt{x (1 + y_x^2)}}$$
Si usamos la ecuación de Euler-Lagrange con lo que tenemos $f_y = \partial_x f_{y'}$ y $f_y = 0 $ tenemos que despejar
$$ \frac{y_{xx}} {\sqrt{x \, (1 + y_x^2)}} = \frac{y_x} {2 x \, \sqrt{x (1 + y_x^2)}} + \frac{y_x^2 \, y_{xx}} { (1 + y_x^2) \, \sqrt{x (1 + y_x^2)}}$$
Multiplicando por el mcd $= \sqrt{x (1 + y_x^2)}$ se simplfica a
$$ y_{xx} = \frac{y_x} {2 x} + \frac{y_x^2 y_{xx}} {1 + y_x^2}$$
Buscamos una forma más compacta para resolverlo, de forma que
$\displaystyle 1 = \frac{y_x}{2x\,y_{xx}} + \frac{y_x^2 }{1 + y_x^2 }$
$\displaystyle \frac{y_x}{2x\,y_{xx}} = 1 - \frac{y_x^2 }{1 + y_x^2 }$
$\displaystyle \frac{y_x}{y_{xx}} = \frac{2x}{1 + y_x^2 }$
$\displaystyle y_{xx} = \frac{y_x (1 + y_x^2 )} {2x}$
Y resolviendo esta ED se puede obtener la solución. Como es difícil de resolver, escojamos el camino fácil para resolverla.
Aplicación bilineal
s
Aplicación coerciva
Funcionales
Espacio de Hilbert
Espacio de Sobolev
Teorema de Lax-Milgram
Sean H un espacio de Hilbert (dotado del producto escalar $\langle \cdot , \, \cdot \rangle_H$), $a: H \ast H \rightarrow \Bbb{R}$ una cplicación bilineal continua y coerciva y $f: H \rightarrow \Bbb{R}$ es lineal y continua.
Entonces existe un único elemento $u \in H$ tal que
$$a(u, \varphi) = f(\varphi) \ , \quad \forall\, \varphi \in H$$
Si la apliación a es además simétrica, entonces el funcional $\mathcal{F}$ alcanza su valor máximo en u
$$\mathcal{F}[v] = \frac{1}{2} \, a (u, v) - f(v)$$