Análisis Vectorial
Es el estudio de funciones de varias variables, generalmente hasta dimensión 3, aunque es generalizable a cualquier natural mayor.Integral de trayectoria
Los ejemplos más usuales para utilizar la integral de trayectoria son el área de la valla que tiene altura f si la curva está en $\Bbb{R}^2$, y la masa que tiene un alambra de densidad f si es en $\Bbb{R}^3$.
Sea $f(X):\Bbb{R}^{2,3} \rightarrow \Bbb{R}$ una función escalar, y $C: [a,b] \rightarrow \Bbb{R}^{2,3}$ una curva en dos o tres dimensiones dependiendo del caso, la integral de línea se define como:
$$\int_{C} f \, ds = \int_{X \in C} f(X) = \int_{t=a}^b F(C(t)) \ || C'(t) ||_2 = \int_ {t=a}^b F(C) \ | C' |$$
Integral de línea
Es el trabajo que hace una partícula que se desplaza en una curva $C: [a,b] \rightarrow \Bbb{R}^3$ dentro de un campo de fuerza $F(x,y,z) = F(X) : \Bbb{R}^3 \rightarrow \Bbb{R}^3$.
$$\displaystyle \int_{C} F \cdot ds = \int_{X \in C} F(X) = \int_ {t=a}^b F(C(t)) \bullet C'(t)$$
Si descomponemos $F(X) = \left(f_1(X), f_2(X), f_3(X) \right)$ y también $C(t) = \left(c_1(t), c_2(t), c_3(t) \right)$ también puede expresarse como:
$\displaystyle \int_{C} F \cdot ds = \int_C f_1 dx + f_2 dy + f_3 dz = \int_{t=a}^b f_1(C) \cdot c'_1 + f_2(C) \cdot c'_2 + f_3(C) \cdot c'_3$
Campo conservativoUn campo es conservativo si cumple que $F = \nabla f$ siendo $F:\Bbb{R}^3 \rightarrow \Bbb{R}^3$ y $f:\Bbb{R}^3 \rightarrow \Bbb{R}$. En este caso se cumple que la integral en una curva $C:[a,b] \rightarrow \Bbb{R}^3$, con extremos $A = C(a)$ y $B = C(b)$
$$\int_C \nabla f = f(B) - f(A)$$
Para que esto ocurra, dada una función $F$, se puede comprobar si cumple que $\nabla \times F = 0$
A veces se usa la notacíon $\omega = \partial_x f \cdot dx + \partial_y f \cdot dy$, ya que se está suponiendo que $x = x(t)$, $y = y(t)$, y se abusa de la notación donde $dx = \partial_t x = x'$ y $dy = \partial_t y = y'$.
Para ver qué ocurre, tenemos una función $f(x,y):\Bbb{R}^2 \rightarrow \Bbb{R}$ y en vez de darnos su campo gradiente, obtenemos que $\partial_t f = \omega = \partial_x f \cdot x' + \partial_y f \cdot y'$
Integral de superficie
Tenemos una superficie delimitada por un plano (1 ecuación) o similar, y una región acotada (inecuación). Entonces, como estamos en 3 variables, podemos representar en un entorno del área las 3 variables en función de dos, ayudándonos con la ecuación, donde ayuda pasarlo a polares, de forma que tenemos $x=x(u,v)$ ó $x=x(\rho, \theta)$, y lo mismo con las otras variables, obteniendo nuestra nueva función $\Sigma(u,v) = (x,y,z)(u,v)$.
Ahora, la inecuación nos servirá para delimitar la integral de la región, haciendo que una variable dependa de la otra, y podemos pasar a integrar el área como
$$A = \underset{(u,v)\in D}{\int \int} |T_u \times T_v|$$
Referencias
Integrales múltiples
[U Sevilla]
Integrales dobles y triples
[uji]
Longitud de Arco, Curvatura resueltos
[P. Alegría]
Integrales de Línea resueltas
[P. Alegría]
Integrales de Superficie resueltas [P. Alegría]
Teorema de Green resuelto [P. Alegría]
Teorema de Stokes resuelto
[P. Alegría]