Integrales
La integral representa el área que hay debajo de una función. Es también es la operación inversa a la derivada. Vamos a ver cómo se trabaja.La integral definida [USevilla]
Reglas de las integrales
Sean $f, g \in \cal{C}^{0}(I,\Bbb{R}), I \subseteq \Bbb{R}$ funciones continuas en un intervalo real que toma valores reales, y $k \in \Bbb{C}$ un número cualquieraSuma de derivadas | $\int (f + g) = \int f + \int g$ |
Producto por una constante | $\int k \cdot f = k \cdot \int f$ |
Tabla de integrales principales
|
|
Tabla completa de Integrales
Con las derivadas que aparecen con más frecuencia, aunque todas se pueden calcular a partir de las tablas anteriores
|
|
Cambio de variable
El cambio de variable es muy útil porque permite simplificar integrales complejas en otras mas simples para resolverlo. Está basado en la propiedad de la regla de la cadena en la derivada,y nuestra intención es crear una variable que la deshaga, la fórmula es
$$\int_x f = \int_t f \cdot \partial_t x$$ |
Veamos la demostración a partir de la regla de la cadena. Llamemos $F(x)$ una función derivable, con derivada $f(x)$ (no defino F(x) en función de f(x) porque habría que añadir un dato más para determinarla).
Además, nos interesa que haya una función que se comporte bien y simplifique la función, esa función $t = g^\ast (x)$ es la inversa de $g(t) = x$. Si le aplicamos entonces la regla de la cadena, ya que $f(x) = f(g(t))$, obtenemos
$ \partial_t F(g(t)) = \partial_g F(g(t)) \cdot \partial_t g(t) = \partial_x F(x) \cdot \partial_t g(t) = f(x) \cdot \partial_t g(t) = f(g(t)) \cdot \partial_t g(t) = f(x) \cdot \partial_t x$
Si integramos ambas partes respecto a t, obtenemos que
$\int_t \partial_t F(g(t)) = F(g(t)) = F(x) = \int_x f(x) \ = \ \int_t f(g(t)) \cdot \partial_t g(t) \ = \ \int_t f(x) \cdot \partial_t x \ = \ \int_t f \partial_t x$
Se puede hacer entonces derivación implícita para resolverlo, ya que suele ser más sencilla. Esta forma de ver la derivada es algo diferente de la tradicional, ya que no usa la notación de Leibniz $\partial x/ \partial t$, sino otra más moderna que busca quitarle confusión al cociente.
Puede que en un principio sea más costosa de entender, pero una vez se sabe utilizar, se aprende a derivar implícitamente haciendo integrales, y eso ayuda a mezclar conocimientos, en vez de crear una separación ficticia.
La regla se simplifica mucho utilizando derivación implícita. Es algo que se da por hecho que se sabe por la regla de la cadena, pero al principio es un poco difícil de entender. Una vez lo pillas es algo rápido de aplicar y muy útil.
La derivación implícita dice que, si tienes una relación entre dos variables, que dependen entre sí, por ejemplo, si queremos dibujar $x^2 + y^2 = 9$, una circunferencia, y queremos derivar respecto a $x$, se puede hacer fácilmente con derivación implícita,
$\partial_x {x^2 +y^2} = \partial_x (9)$
$\partial_x {x^2} + \partial_x {y^2} = 0 \quad$ (ahora se aplica la regla de la cadena $\partial_x(y^2(x)) = \partial_x (y) \cdot \partial_y(y^2)$)
$2x + 2y \partial_x y = 0 \quad$ (despejamos ahora \partial_x y)
$\partial_x y = \dfrac{x}{y}$
De esta forma, tenemos la derivada de y de forma implícita, porque no nos sale solo la x en la derivada, sino también la propia función. Esto es super útil en las integrales, y vamos a usarlo en todos los cambios de variable.
Integrales Tipo
Polinomios
Para integrar un polinomio solo hace falta saberse las 3 primeras reglas.
Ejemplo $\int 9x^4 + 3x^2 -1$
$\int 9x^4 + 3x^2 -1 = \quad$ (regla $\int(f + g) = \int f + \int g $)
$= \int 9x^4 + \int 3x^2 + \int -1 = \quad$ (regla $\int k \cdot f = k \cdot \int f$)
$= 9 \int x^4 + 3 \int x^2 - \int 1 =$
$= 9 \dfrac{x^{4+1}}{4+1} + 3 \dfrac{x^{2+1}}{2+1} - \dfrac{x^{0+1}}{0+1} =$
$= 9 \dfrac{x^5}{5} + 3 \dfrac{x^3}{3} - x =$
$= \dfrac{9}{5} x^5 + x^3 - x$
x elevado a un exponente racional
A veces para complicar un poco esta regla, suele preguntarse este tipo de integrales, en las que aparece $\sqrt[n]{x^p}$ ó $1/x^a$ y lo que están pidiendo es que conozcas esta regla aritmética:
$$\sqrt[n]{x^p} = x^{\frac{p}{n}}$$ | $\dfrac{1}{x^a} = x^{-a}$ |
Conociendo esto, veamos un ejemplo, y es también sencillo.
Ejemplo: $\displaystyle \int 5 \sqrt[3]{x^2} - \frac{2}{x^3}$
$\displaystyle \int 5 \sqrt[3]{x^2} - \frac{2}{x^3}$
$\displaystyle = 5 \int \sqrt[3]{x^2} - 2 \int \frac{1}{x^3} =$
$\displaystyle = 5 \int x^{\frac{2}{3}} - 2 \int \frac{x^{-3}} = $
$\displaystyle = 5 \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} - 2 \frac{x^{-3+1}}{-3+1} =$
$\displaystyle = 5 \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} - 2 \frac{x^{-2}}{-2} =$
$\displaystyle = 5 \cdot \frac{3}{5} \cdot \sqrt[3]{x^5} - \frac{2}{-2} x^{-2} =$
$\displaystyle = 3 \sqrt[3]{x^5} + \frac{1}{x^2} $
Cambio de Variable de una función tipo polinomio
En vez de una x elevado a algo, podemos tener otra función, por ejemlo seno o coseno elevado a algo. En este caso, la función $f$ siempre tiene que estár multiplicada por su derivada, ya que proviene de $\partial f^n = n f^{n-1} \partial f$. En estos casos, el cambio de variable es $t = f$, veamos cómo se hace.
Ejemplo: $\int sen^4(x) \cdot cos(x) $
Aplicamos el cambio de variable $t = sen(x)$, por la regla del cambio de variable, tenemos que calcular la derivada de x respecto a t de forma implícita. entonces
$t = sen(x)$
$\partial_t (t) = \partial_t (senx) \quad$ (regla de la cadena)
$1 = \partial_x (senx) \cdot \partial_t x$
$1 = cosx \cdot \partial_t x$
$\partial_t x = \dfrac{1}{cosx}$
Aplicando la ecuación del cambio de variable $\int_x f = \int_t f \cdot \partial_t x$
$\int_x sen^4x \cdot cosx =$
$=\int_t sen^4x \cdot cosx \cdot \frac{1}{cosx} =$
$=\int_t sen^4x = \quad$ (aplicamos el cambio $senx = t$, para poder integrar sobre t)
$=\int_t t^4 =$
$=\frac{t^5}{5} = \quad$ (deshacemos el cambio)
$=\dfrac{sen^5(x)}{5}$
Ejemplo: $\int e^{7x} $
Aplicamos el cambio de variable $t = e^{x}$ porque podemos ver esta integral como $\int (e^x)^6 \cdot e^x$ que es una función multiplicada por su derivada
Ajustar coeficientes
Suele pasar también que la mayoría de las integrales que se empiezan estudiando, aunque se dice de ellas que son inmediatas, se pueden simplificar haciendo un cambio de variable, porque hace falta poner siempre una constante fuera, que no se sabe bien cuánto vale hasta que no se le pilla la práctica.
Es el caso de funciones que sabemos integrar inmediatamente, pero que tienen la variable pegada a algún valor numérico. En ese caso se hace t = kx. Veamos un ejemplo
Ejemplo: $\int e^{7x} $
Vamos a repetir este ejemplo con el cambio de variable $t = 7x$, ya que también se puede ver como una integral de este tipo. Lo que recuerda que hay varias formas de resolver la misma integral y son todas válidas.
Funciones trigonométricas
Cambios de variable tipo trigonométrico [UDC]
Se hace el cambio de t = sen(x) si tenemos un número impar de cosenos
Se hace el cambio de t = cos(x) si tenemos un número impar de senos
Cambio de variable t = tan(x)Se utiliza cuando tenemos cocientes y productos de senos y cosenos de grado par
$t = tan(x)$
$arctan(t) = x$
$dx = \dfrac{dt}{1+t^2}$
$sen^2(x) = \dfrac{t^2}{1+t^2}$
$cos^2(x) = \dfrac{1}{1+t^2}$
Es el cambio más general, y suele servir para los casos en donde los anteriores no funcionan, generalmente cocientes de senos y cosenos en los que hay también sumas o restas en numerador y denominador.
$s = tan(x/2)$
$2 arctan(s) = x$
$dx = \dfrac{2 ds}{1+s^2}$
$sen(x) = \dfrac{2s}{1+s^2}$
$cos(x) = \dfrac{1-s^2}{1+s^2}$
Para el cambio de variable de arcotangente se tiene que hacer un ajuste de cuadrados. Aunque hay una fórmula para hacerlo rápido.
Supongamos que tenemos una integral del tipo $$\int \dfrac{1}{c + bx + ax^2}$$
La forma más sencilla es aplicar 2 cambios de variable. El primero es $x = t - \dfrac{b}{2a}$, como lo vamos a elevar al cuadrado, multiplicamos arriba y abajo por 4a^2, y centrándonos en el polinomio de abajo nos queda
$dx = dt$ y
$4a^2(c + bx + ax^2 ) =$
$4a^2c + 4a^2bx + 4a^3x^2 =$
$4a^2c + 4a^2b\left(t - \dfrac{b}{2a}\right) + 4a^3 \left(t - \dfrac{b}{2a}\right)^2 =$
$4a^2c + 4a^2bt - 2ab^2 + 4a^3t^2 - 2a^2bt + b^2 =$
$4a^2c - 2ab^2 + 4a^3t^2 + b^2 = a_1 t^2 + c_2$
Cuando acabamos el cambio de variable, nos aparecen nuevos números, $a_1, c_1$ y renombramos $4a^2 = k$ que está arriba multiplicando, así tenemos que
$$\int \dfrac{1}{c + bx + ax^2} = k \int{ \dfrac{1}{a_1 t^2 + c_2}}S$$
De forma que ahora solo queda hacer el segundo cambio de variable, que es $t = \sqrt{\dfrac{c_2}{a_1}}u$, haciendo la derivación tenemos $dt = \sqrt{\dfrac{c_2}{a_1}} du$ y lo aplicamos a la integral obteniendo:
$\displaystyle k \int{\dfrac{1}{a_1 t^2 + c_2}} dt
= k \int {\dfrac{1}{a_1 \left(\sqrt{\dfrac{c_2}{a_1}}u\right)^2 + c_2} \sqrt{\dfrac{c_2}{a_1}}} du =$
$\displaystyle=k \sqrt{\dfrac{c_2}{a_1}} \int {\dfrac{1}{c_2u^2 + c_2} }
= \dfrac{k \sqrt{c_2}}{c_2 \sqrt{a_1}} \int {\dfrac{1}{u^2 + 1} } = $
$\displaystyle= \dfrac{k \sqrt{c_2}}{c_2 \sqrt{a_1}} arctan(u)
= \dfrac{k \sqrt{c_2}}{c_2 \sqrt{a_1}} arctan\left(\sqrt{\dfrac{a_1}{c_2}}t\right)
= \dfrac{k \sqrt{c_2}}{c_2 \sqrt{a_1}} arctan\left(\sqrt{\dfrac{a_1}{c_2}}\right) \left(x + \dfrac{b}{2a} \right) $
Para el cambio de varible de arcotangente se tiene que hacer un ajuste de cuadrados. Aunque hay una fórmula para hacerlo rápido.
Supongamos que tenemos una integral del tipo $$\int \dfrac{1}{c + bx + ax^2}$$
Tenemos que ajustar el polinomio que conocemos $c + bx + ax^2$ a algo más bonito $1 + \left( \dfrac{x-\alpha}{\beta} \right)^2$, y entonces aplicaremos el cambio de variable $t = \dfrac{x-\alpha}{\beta}$
La magia se encuentra en este cambio de variable. Calculamos primero las raíces de $c + bx + ax^2$, y las llamo $r_1$ y $r_2$, siendo $r_2 > r_1$ entonces $$x = \dfrac{r_2-r_1}{2}t + \dfrac{r2+r1}{2}$$ donde $\alpha = \dfrac{r2+r1}{2} = \dfrac{-b}{2a}$ y $\beta = \dfrac{r_2-r_1}{2} = \sqrt{\dfrac{c}{a} - \alpha^2}$
Las cuentas intermedias vienen del ajuste de cuadrados. Si expandimos
$\beta^2 + \left( x-\alpha\right)^2$ nos queda
$\beta^2 + \alpha^2 -2 \alpha x + x^2 = x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}$ igualando coeficientes
$-2 \alpha = \dfrac{b}{a}$ y $\dfrac{c}{a} = \beta^2 + \alpha^2$ despejamos
$\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ y $\beta^2 = \dfrac{c}{a} - \alpha^2$
Para el cambio de varible de arcoseno también se tiene que hacer un ajuste de cuadrados.
Supongamos que tenemos una integral del tipo $$\int \dfrac{1}{\sqrt{-c - bx - ax^2}}$$
Tenemos que ajustar el polinomio que conocemos $-c - bx - ax^2$ a algo más bonito $1 - \left( \dfrac{x-\alpha}{\beta} \right)^2$, y entonces aplicaremos el cambio de variable $t = \dfrac{x-\alpha}{\beta}$
$\alpha =\dfrac{b}{2a}$ y $\beta = - \dfrac{r_2-r_1}{2} = \sqrt{\dfrac{c}{a} + \alpha^2}$
Las cuentas intermedias vienen del ajuste de cuadrados. Si expandimos
$\beta^2 - \left( x-\alpha\right)^2$ nos queda
$\beta^2 - \alpha^2 + 2 \alpha x - x^2 = x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}$ igualando coeficientes
$2 \alpha = \dfrac{b}{a}$ y $\beta^2 - \alpha^2 = \dfrac{c}{a}$ despejamos
$\alpha = \dfrac{b}{2a}$ y $\beta^2 = \alpha^2 + \dfrac{c}{a}$
Para el cambio de varible de arcoseno también se tiene que hacer un ajuste de cuadrados.
Supongamos que tenemos una integral del tipo $$\int \dfrac{1}{\sqrt{c + bx + ax^2}}$$
Tenemos que ajustar el polinomio que conocemos $c + bx + ax^2$ a algo más bonito $1 - \left( \dfrac{x-\alpha}{\beta} \right)^2$, y entonces aplicaremos el cambio de variable $t = \dfrac{x-\alpha}{\beta}$
La magia se encuentra en este cambio de variable. Calculamos primero las raíces de $c + bx + ax^2$, y las llamo $r_1$ y $r_2$, siendo $r_2 > r_1$ entonces $$x = -\dfrac{r_2-r_1}{2}t + \dfrac{r2+r1}{2}$$ donde $\alpha = \dfrac{r2+r1}{2} = \dfrac{-b}{2a}$ y $\beta = \dfrac{r_2-r_1}{2} = \sqrt{\alpha^2 - \dfrac{c}{a}}$
Las cuentas intermedias vienen del ajuste de cuadrados. Si expandimos
$\beta^2 - \left( x-\alpha\right)^2$ nos queda
$\beta^2 - \alpha^2 + 2 \alpha x - x^2 = - x^2 - \dfrac{b}{a}x - \dfrac{c}{a}$ igualando coeficientes
$2 \alpha = -\dfrac{b}{a}$ y $\beta^2 - \alpha^2 = -\dfrac{c}{a}$ despejamos
$\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ y $\beta^2 = \alpha^2 - \dfrac{c}{a}$