Superficies Diferenciables

Definición

Una superficie es un subconjunto de $\Bbb{R}^3$ con dos grados de libertad $(u,v) \in \Bbb{R}^2$ que puede representarse de forma paramétrica $S \equiv X = X(u,v)$ donde $X = (x,y,z)$, o a partir de una ecuación implicita $S \equiv f(x,y,z)= 0$ ó explícita a partir de una coordenada $S \equiv z = f_1(x,y)$ ó $S \equiv y = f_2(x,z)$ ó $S \equiv x = f_3(y,z)$ .

Regular

Una superficie es regular si no tiene picos, es decir, si para cada punto de la curva, su vector normal no se anula (y para ello tampoco puede anularse ninguna de sus derivadas)

$$regular \quad \Leftrightarrow \quad X_u \, ⅄ \, X_v \neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \nabla f \neq 0$$

De esta propiedad sacamos una conclusión importante, y es que el producto vectorial de las derivadas parciales es proporcional (y por lo tanto paralelo) al gradiente de la ecuación $$X_u \, ⅄ \, X_v \ \parallel \ \nabla f$$

Toda superficie que sea regular en un entorno de un punto, puede expresarse de forma implícita en ese punto.

Superficie de revolución

Si tenemos una curva en 2 dimensiones $z = z(x)$ ó $z = z(y)$, y la rotamos sobre el eje z, obtenemos las ecuaciones $$X = \begin{pmatrix}z(u) \, cos\, v \\ z(u) \, sen\, v \\ u \end{pmatrix}$$

Cuádricas

Las cuádricas son las curvas que tienen como ecuación un polinomio de grado dos (si es de grado 1 es un plano). Usamos las variables en estos dominios $u,v \in \Bbb{R}$ , la colatitud $\theta \in [0, \tau]$ y el azimut $\varphi \in [\mp \frac{\tau}{4}]$ y la distancia $\rho \in \Bbb{R}^+$

Paraboloide hiperbólico (reglado)

Paraboloide hiperbolico

$$z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \quad \equiv \quad X(u, v) = \begin{pmatrix} a \, u \\ b \, v \\ u^2 - v^2 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} a \cdot \frac{u+v}{2} \\ b \cdot \frac{u-v}{2} \\ u v \end{pmatrix} $$

Paraboloide elíptico (no reglado)

Paraboloide elíptico 2 hojas

$$z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \quad \equiv \quad X(u, v) = \begin{pmatrix} a \, u \\ b \, v \\ u^2 + v^2 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} a \cdot \frac{u+v}{2} \\ b \cdot \frac{u-v}{2} \\ \frac{u^2 + v^2}{2} \end{pmatrix} \quad \equiv \quad X(\rho, \theta) = \begin{pmatrix} a \, \rho \, c(\theta) \\ b \, \rho \, s(\theta) \\ \rho^2 \end{pmatrix} $$

Elipsoide

Elipsoide

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}=1 \quad \equiv \quad X(\theta, \varphi) = \begin{pmatrix} a \, c(\theta) \, s(\varphi) \\ b \, s(\theta) \, s(\varphi) \\ c \, c(\varphi) \end{pmatrix}$$

Hiperboloide de una hoja (reglado)

Hyperboloide 1 hoja

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}= 1 \quad \equiv \quad X(u, \theta) = \begin{pmatrix} a \, c(\theta) \, ch(u) \\ b \, s(\theta) \, ch(u) \\ c \, sh(u) \end{pmatrix}$$

Hiperboloide de dos hojas (no reglado)

Hyperboloide 2 hojas

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2}= -1 \quad \equiv \quad X(u, \theta) = \begin{pmatrix} a \, c(\theta) \, sh(u) \\ b \, s(\theta) \, sh(u) \\ c \, ch(u) \end{pmatrix}$$

Formas fundamentales

Superficie reglada

Es una superficie que para cualquier punto de ella pasa una recta que está contenida completamente en la superficie.

Superficie desarrollable

Una superficie es desarrollable si representen una familia uniparamétrica de planos (superficies tángentes, cónicas o cilíndricas).

Una superficie reglada es desarrollable si puede expresar como una ecuación paramétrica $X(u,v) = F(u) + v G(u)$, y tras hacer depender $u = u(t)$ y cumple $$[F', G, G'] = 0$$

Plano tangente

El plano tangente en un punto $P = X(U_0) $ $$T_P S \quad \equiv \quad X = P + u \, X_u (U_0) + v \, X_v (U_0)$$ $$T_P S \quad \equiv \quad \nabla f(P) \bullet (X - P) = 0$$ $$T_P S \quad \equiv \quad [X_u, X_v, X-P] = 0$$ Donde el gradiente se puede obtener de forma explícita de $z = z(x,y)$ como $\nabla f = (z_x, z_y, 1)$

Primera forma fundamental

$$I(a, b) = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix} = E a^2 + 2 F ab + G b^2 $$ $$I(u_t, v_t) = \begin{pmatrix} u_t & v_t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |X_u|^2 & X_u \bullet X_v \\ X_v \bullet X_u & |X_v|^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_t \\ v_t \end{pmatrix} $$ $$I(u_t, v_t) = |X_t|^2 = |X_u \, u_t + X_v \, v_t|^2 = |X_u|^2 \, u_t^2 + 2 \, (X_u \bullet X_v) \, u_t v_t + |X_v|^2 \, v_t^2 $$

Cabe destacar que es una matriz definida positiva, ya que sus diagonales y determinantes son positivos. $E, G > 0$ por ser normas, y no singulares, $|A| = EG - F^2 = |X_u \,⅄\, X_v|^2 > 0$

La prueba de que $EG - F^2 = |X_u ⅄ X_v| $ es que $EG - F^2 = |X_u|^2 |X_v|^2 - |X_u \bullet X_v|^2 = |X_u|^2 |X_v|^2 - |X_u|^2 |X_v|^2 \, c(C) =$ $= |X_u|^2 |X_v|^2 (1 - c(C)) = |X_u|^2 |X_v|^2 \, s(C) = |X_u \,⅄\, X_v|^2$

Área

$$\underset {(u,v) \in D} {\int \int} \, |X_u \,⅄\, X_v| $$

Vector normal unitario

Definamos la superficie en paramétricas $X = X(u, v)$ ó de forma implícita $f(x,y,z) = 0$, $$\widehat{N} = \frac{X_u \,⅄\, X_v}{|X_u \,⅄\, X_v|} = \frac{\nabla f}{|\nabla f|}$$ La orientación de la superficie dependerá del signo de N, ya que puede ser positivo o negativo indistintamente, según escojamos nosotros durante el ejercicio que queremos que sea, porque el producto vectorial es anticonmutativo $X_u \,⅄\, X_v = - X_v \,⅄\, X_u$

Campo normal unitario (Aplicación de Gauss)

Sobre la normal, movemos el parámetro $N(t) = N \bullet (x,y,z)$ $$N(p) = \widehat{N} \circ X^- (p) $$ Si existe un campo normal unitario en toda la superficie diremos que la superficie es orientable

Operador de Weingarten

Es el diferencial de vector normal unitario sobre una curva. Cogemos una curva de la superficie $C \equiv C(t) = (x(t), y(t), z(t))$, y la introducimos en nuestra función $f(x,y,z) = f(C(t))$ entonces podemos derivar la función respecto de t, es esta forma $$-dN(C'(t)) = N'(t) = \nabla f \bullet C'$$ Donde N es la aplicacón de Gauss. Y luego se le aplica sobre un vector concreto dN(v) para estudiar sus propiedades.

Segunda forma fundamental

$$II(a, b) = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ f & g \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix} = e a^2 + 2 f ab + g b^2 $$ $$II(u_t, v_t) = \begin{pmatrix} u_t & v_t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{uu} \bullet N & X_{uv} \bullet N \\ X_{vu} \bullet N & X_{vv} \bullet N \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_t \\ v_t \end{pmatrix} $$

Direcciones asintóticas

Son de la forma $U_1 = X_u + m_1 X_v$ y $U_2 = X_u + m_2 X_v$ donde $m_1, m_2$ son las soluciones de la ecuación $$e + 2f \, m + g \, m^2 = 0$$

Curvatura normal

$$k_N = \frac{II(u_t, v_t)} {I (u_t, v_t)} $$ Donde el vector curvatura normal es $K_N = k_N \, N$

Curvatura principal

Son las soluciones $k_1, k_2$ del sistema $$\begin{vmatrix} k E - e & k F - f \\ k F - f & k G - g \end{vmatrix} = 0$$

Curvatura media

$$k_m = \frac{k_1 + k_2} {2} $$

Teorema de Euler

$$ k_N = k_1 cos^2(\theta) + k_2 sen^2(\theta)$$

Curvatura total (de Gauss)

Sirve para clasificar los puntos y sus direcciones asintóticas ayudándose de la fórmula de Euler. $$K(P) = \frac{eg-f^2} {EG-F^2} = k_1 k_2$$

  • Punto elíptico si $K(P) > 0$ (un punto mínimo) no hay direcciones asintóticas
  • Punto hiperbólico si $K(P) < 0$ (un punto de silla) tiene dos direcciones asintóticas $tan^2\, \theta = - \frac{k_1}{k_2}$
  • Punto parabólico si $k_1(P) = 0 \ \wedge \ k_2(P) \neq 0$ (un folio doblado, da una parabola en el folio) Si la curvatura es cero, pero uno de las curvaturas principales no son cero
  • Punto plano si $k_1(P), k_2(P) = 0$

Punto umbílico

Son los puntos que satisfacen $$\frac{E}{e} = \frac{F}{f} = \frac{G}{g} $$

Indicatriz de Dupin

$$ k_{N_1} x^2 + k_{N_2}y^2 = \pm 1$$

Geodésica

Es una curva $C(t)$ cuyos vectores tangentes $C'$ son paralelos sobre la superficie, y esto ocurre si su binormal $C''$ es perpendicular al plano tangente a la superficie $T_{C_0} S$ $$C'' \perp T_{P} S \quad \equiv \quad C'' \,⅄\, \nabla f = 0 \quad \equiv \quad C'' \,⅄\, (X_u \,⅄\, X_v) = 0 $$

Envolvente

Es una familia de curvas planas que cada uno de sus puntos es tangente a una curva de la familia.

De forma implícita se calculan a partir de una ecuación (que podría verse como una superficie, o como una familia de curvas planas en función de z) de forma que se obtiene al resolver el sistema $$\left\{ \begin{matrix} f(x, y, z) = 0 \\ f_z(x, y, z) = 0 \end{matrix} \right\}_\cap \ ; \ x = x(z) \ ; \ y = y(z)$$ Para que exista, el jacobiano no puede anularse $|Jac(f)| = |\partial_{(x,y)}(f, f_z)| = \begin{vmatrix} f_x & f_y \\ f_{zx} & f_{zy} \end{vmatrix} \neq 0$ ni su segunda derivada $f_{zz} \neq 0$.

De forma paramétrica $X = X(u, v)$ ocurre al contrario que implícita, buscamos las soluciones donde se anula el jacobiano $|Jac(X, X_u)| = |\partial_{u, v}(X, X_u)| = \begin{vmatrix} X_u & X_v \\ X_{uu} & X_{uv} \end{vmatrix} = 0$.

Teorema de Olinde Rodrigues

Una curva regular C, parametrizada por $C(t)$ es una línea de curvatura de S si cumple $$N' = - k_N \frac{C'}{|C'|} C' $$

Teorema de Hopf-Rinow

Sea S una superficie completa. Dados dos puntos $p, q \in S$ existe una geodésica mínima que une p y q.