Geometría Global

Curvas de Jordan

Una curva $\alpha \, : \, \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}^2$ de longitud L se dice que es de Jordan si:

Es conexa ($\alpha(t)$ es continua)
Es regular ($\alpha ' (t) \neq 0$)
Es periódica (con periodo A, $\alpha(t) = \alpha(s+A)$)
Es cerrada (con longitud L, $\alpha(0) = \alpha(L)$ $\ \Rightarrow L |_{div} T$)
Es simple ($\alpha(a) \neq \alpha(b), \forall a \neq b \in [0,L[ $)

Teorema de la curva de Jordan

Toda curva de Jordan divide al plano en dos componentes conexas disjuntas, siendo la curva la frontera común entre ambas.

Consecuencias

La parte acotada $\Omega$ se llama interior de la curva, y la no acotada $\Bbb{R}^2 \setminus \Omega$ exterior.

Para saber si un punto está dentro o fuera de la curva, se traza un rayo que sea tangente a todos los puntos donde corta con la curva, si corta en una cantidad impar de veces está en el interior, y si corta una cantidad par de veces está en el exterior.

Toda curva de Jordan es difeomorfa a una circunferencia

Definiciones

Se llama índice de rotación I($\alpha$) de una curva (cualquiera) a la cantidad de vueltas que da en cada dirección la curva (+1 si da la vuelta en dirección positiva, antihoraria, y -1 si va al revés)

$$I(\alpha) := \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{A}{k(t) \, |\alpha'(t)| dt} \ \in \Bbb{Z}$$

Teorema de las tangentes

Una curva de Jordan tiene índice de rotación $\pm 1$ (positivo si está orientado positivamente, y negativo si no)

Equivalentemente, $\displaystyle \int_{0}^{A}{|k(t)| \, |\alpha'(t)| dt} = 2\pi$

Teorema de la divergencia

Sea $\alpha$ una curva de Jordan p.p.a. ($|\alpha{s}|= 1$) y sea $X: \overline{\Omega} \subseteq \Bbb{R}^2 \rightarrow \Bbb{R}^2$ un campo continuo, tal que $X_{| \stackrel{\circ}{\Omega}}$ su restricción al abierto es diferenciable, entonces

$$\iint_\Omega div X \ dA = - \int_0^L \langle X(\alpha(s)), \, \mathcal{J} \alpha'(s) \rangle \ ds$$ Equivalentemente $$\iint_\Omega \nabla \bullet X \ dx \, dy = - \int_0^L X(\alpha(s)) \bullet \alpha'(s)^{\perp} \ ds$$

Superficies compactas

Una superficie compacta (y conexa) es una función $S \equiv X(u,v):\Bbb{R}^2 \rightarrow \Bbb{R}^3$ continua que no se autocorta (inyectiva) cerrada y acotada.

Una superficie cerrada es una superficie compacta que no tiene borde.

Toda superficie cerrada separa al espacio en dos componentes conexas.

Teorema de Jordan-Brouwer

Una superficie compacta (y conexa) es una función $S \equiv X(u,v):\Bbb{R}^2 \rightarrow \Bbb{R}^3$ continua que no se autocorta (inyectiva) cerrada y acotada.

Teorema de Alexandrov

La esfera $S^2(a,\,r)$ es la única superficie compacta $S$ de $\Bbb{R^3}$ con curvatura media $H$ constante.

Demostración

Cuerpo de la Demostración

Sea $H =$ "curvatura media respecto del normal interior", si queremos que sea constante, la superficie tiene que ser convexa, es decir $H > 0$
Se define el volumen del interior de la superficie $\Omega$ como $$\displaystyle V := Vol(\Omega) = - \frac{1}{3} \int_S \langle N(p),\, p \rangle $$
Por Primera fórmula de Minkowski tenemos que $$\displaystyle \int_S \left ( 1 + H \cdot \langle N(p),\, p \rangle \right ) = 0$$ $\displaystyle A + H \int_S \langle N(p),\, p \rangle = 0 \ =\Rightarrow \ \int_S \langle N(p),\, p \rangle = - \frac{A}{H}$
Mezclando ambas igualdades obtenemos que $3\, V = - \int_S \langle N(p),\, p \rangle = \frac{A}{H}$, $$V = \frac{A}{3H}$$ La igualdad se da con curvatura media constante, ¿Porqué se comprueba ahora si se supone por hipótesis que es constante?. Veamos que ocurre en caso contrario por reducción al absurdo.
Sean las curvaturas principales $h_1 < h_2$ de forma que $h_1 < H < h_2$ por ser H la media de las dos $H = \frac{h_1 + h_2}{2}$, y , entonces cogemos un entorno tubular de la superficie, a distancia $1/h_2(p)$ que es una función continia y bien definida porque $h_2 > H > 0$ $$A = \left\{ (p,t) \in S \ast \Bbb{R} \ : \ p \in S,\, t \in [0, 1/h_2(p)] \right\}$$ Podemos definir dos aplicaciones, la función característica $\chi_A (p,\,t) = \{1 \ \textrm{si} \ (p,t) \in A \ \wedge 0 \ \textrm{si} \ (p,t) \not\in A \} : S \ast (0,\, a) \rightarrow \Bbb{R}$ y $F(p,\,t) = p + t\,N_{int}(p): S \ast (0,\, a) \rightarrow \Bbb{R}$ y al integrar con el cambio de variable observamos que ¿Porqué se integra de esta forma, con el jacobiano, en los apuntes tengo escrito: fórmula del área?
$\displaystyle \int_{S \ast (0,\,a)} \chi_A \cdot |Jac\,F| = \int_{\Bbb{R}^3} \sum_{(p,\,t) \in F^{-}(x)} \chi_A (p,\,t) \geq \int_{F(A)} \sum_{(p,\,t) \in F^{-}(x)} \chi_A (p,\,t) \geq vol(F(A))$
Como $\Omega \subseteq F(A)$ podemos comprobar que $vol(F(A)) \geq Vol (\Omega)$
Ahora cogemos un punto del interior $x \in \Omega$, y el punto más cercano a la superficie, es decir, $dis(x,\,S) = dis(x,\, p)$, cogiendo este punto para la diferencial, siendo $\alpha(0) = p$ y $\alpha'(0) = v$ tenemos que su diferencial es $$df_p(v) = 2 \langle v,\, p-x\rangle = 0$$ El diferencial es cero porque la distancia entre el punto x y la superficie ($p-x$) siempre es ortogonal al vector tangente $v$ a cualquier curva $\alpha$ sobre la superficie.
Esto podemos traducirlo en que el vector que une x y p $x-p$ en dirección al interior de la superficie, es proporcional al normal interior
$x = p + t \, N_{int}(p)$ ; $x = p_0 + t \, N_{int}(p)$ ; $x = F(p,t)$ La función F que nos habíamos inventado es el conjunto de puntos interiores cuyo punto más cercano a la superficie es p, a distancia t... o mejor dicho, el punto interior desde p dirección N?
Ahora demostramos que la distancia $t$ está acotada ¿Porqué lo demostramos? ¿$\displaystyle t \leq \frac{1}{\lambda_2(p_0)}$? Para ello derivamos el diferencial
$0 \leq \langle II_{p_0}(v,\,v) ,\, p_0 - x \rangle$
$0 \leq -t \, II_{p_0} (v,\,v) + |v|^2 $
tomando $v = e_2(p_0)$ tenemos que $|v| = |e_2| = 1$ y que $II_{p_0} (e_2,\,e_2) = \lambda_2 (p_0)$
$0 \leq -t \, \lambda_2(p_0) + 1$
$\displaystyle t \leq \frac{1}{\lambda_2(p_0)} \quad$ por lo tanto $t \in \Omega$ esto no puede ser, lo copié mal seguro
Con esto en mente podemos pasar a integrar de forma que:
$\displaystyle \int_{S \ast (0,\, a)} \chi_A \cdot |Jac \, F| \stackrel{Fubbini}{=} \int_S \left ( \int_0^a \chi_A \cdot |Jac \, F| \ dt \right ) \, dp = \int_S \left ( \int_0^{\frac{1}{\lambda_2(p)}} 1 - 2tH(p) + t^2 k \ dt \right ) \, dp \leq$
$\displaystyle \leq \int_S \left ( \int_0^{\frac{1}{H(p)}} 1 - 2tH(p) + t^2 k \ dt \right ) \, dp \leq \int_S \left ( \int_0^{\frac{1}{H(p)}} 1 - 2tH(p) + t^2 H \ dt \right ) \, dp = \int_S \left ( \int_0^{\frac{1}{H(p)}} \left ( 1 - tH(p))^2 \right ) \ dt \right ) \, dp =$
$\displaystyle = \int_S \left [ \frac{(1 - tH(p))^3}{3(-H)} \right ]_{t=0}^{\frac{1}{H(p)}} \, dp = \int_S \frac{(1 - \frac{1}{H(p)}H(p))^3}{3(-H(p))} - \frac{(1 - 0 \cdot H(p))^3}{3(-H(p))} \, dp = \int_S 0 - \frac{1}{-3H(p)} \, dp = \int_S 0 \frac{1}{3H(p)} \, dp $

Desigualdad isoperimétrica en $\Bbb{R}^3$

Sea $S$ una superficie compacta de $\Bbb{R}^3$ y $\Omega$ su dominio interior, entonces se cumple que

$$ Vol(\Omega)^2 \leq \frac{A(S)^3}{36 \pi }$$

Y se da la igualdad si y solo sí la superficie $S=S^2(a,\,r)$ es una esfera

Demostración

Lema 1 (Desigualdad de Brunn-Minkowski $\Bbb{R}^3$

Sean $A,\, B \subseteq \Bbb{R}^3$ dos abiertos acotados del espacio, entonces

$$ \sqrt[3]{Vol(A+B)} \geq \sqrt[3]{Vol(A)} + \sqrt[3]{Vol(B)} $$

¿Hace falta la demostración?

Cuerpo de la Demostración

Vamos a demostrar cuándo se da la igualdad, para ello la vuelta es trivial
$\underline {\Leftarrow |}$ Si $S=S^2(a,\,r)$ sabemos que su área y su volumen son $A(S^2(a,\,r)) = 4 \pi r^2$ y su volumen $\displaystyle V(B(a,\,r)) = \frac{4}{3} \pi r^3$, entonces
$\displaystyle V^2 \leq \frac{A^3}{36 \pi }$
$\displaystyle \left ( \frac{4}{3} \pi r^3 \right )^2 \leq \frac{(4 \pi r^2)^3}{36 \pi }$
$\displaystyle \frac{16}{9} \pi^2 r^6 \leq \frac{64 \pi^3 r^6}{36 \pi }$
$\displaystyle \frac{16}{9} \leq \frac{64} {36}$
$\displaystyle 16 \cdot 36 \leq 64 \cdot 9$
$\displaystyle 576 \leq 576$ entonces, se da la igualdad

$\underline {\Rightarrow |}$ Para comprobar la igualdad en la otra dirección, pasamos la desigualdad a un lado teniendo $A(S)^3 - 36 \pi Vol(\Omega)^2 \geq 0$ y definimos el funcional $$\begin{matrix} \{S=compacto\} & \stackrel{F}{\longrightarrow} & \Bbb{R} \\ s & \longmapsto & A(S)^3 - 36 \pi Vol(\Omega)^2 \end{matrix}$$ Sabemos que $F(S) \geq 0, \ \forall S \in E$ ¿No hay que demostrar que es positivo? y ¿Quíen es E?
Cogemos un $|t| \leq \varepsilon$ pequeño $\varepsilon \in \Bbb{R}^3$. Y si rotamos la superficie de forma que $S(0) = S_0$ es el mínimo absoluto de la superficie, tenemos que $F(S(t)) : (- \varepsilon, \varepsilon) \longrightarrow \Bbb{R}$ tiene un mínimo en cero
$\left [ \frac{d}{dt} F(S(t)) \right ] _{t=0} = 0$
Vamos a tomarnos una familia uniparamétrica, cogiendo una función $f:S \longrightarrow \Bbb{R}$ diferenciable, para ciertos $t \in \Bbb{R}$ pequeños para definir $\phi_t : S \longrightarrow \Bbb{R}^3$ de forma que la superficie no se autocorte, $S(p) = p + t \, f(p)N(p)$, para ello es suficiente buscar una cota de $|f(p)| \leq a \in \Bbb{R}^+$ y acotar t por $|t| < \frac{\varepsilon}{a}$ de forma que
$|t f(p)| = |t|\,|f(p)| < \frac{\varepsilon}{a} cdot a = \varepsilon$, tomo $\delta = \frac{\varepsilon}{a}$
Entonces si $t \in (-\delta,\, \delta)$ la aplicacíon $\phi_t$ está dentro del entorno tubular.

Teorema de Cohn-Vossen

Sea $f: S \longrightarrow S'$ una isometría, y S=Ovaloide, entonces, la aplicación f es la restriccion de un movimiento rígido.
Demostrado sin el cálculo de la divergencia