Ecuaciones de orden superior

Se dice que una ecuación es de orden superior (a 1) si alguna incógnita tiene grado mayor o igual que dos, o hay al menos 2 incógnitas multiplicándose.

Por ejemplo: $x^2 = 9$ ; $xy = 6$

Ecuaciones de segundo grado

Estas ecuaciones son combinación lineal de polinomios de 2º grado, de la forma $p(x) = ax^2 + bx + c$. La técnica general para resolverla es similar a la de primer grado, aunque repito, una vez se domine lo mejor es buscar formas más rápidas para cada ecuación concreta para divertirse.

Quitar los paréntesis Pasar todo a la izquierda de la ecuación, dejando igualado a cero Operar hasta que quede una iguladad del tipo $ax^2 + bx + c = $ Dividir por el máximo común divisor de $mcm(a, b, c)$ dejando a positivo

Siempre aconsejo que a sea positivo porque evita errores de signos más adelante. Una vez hemos simplificado todo a un polinomio de segundo grado, su solución serán dos valores $r_1, r_2$ que se llaman raíces, y entonces:

$$ax^2 + bx + c = a(x-r_1)(x - r_2)$$

Esto nos da una pista, podemos trabajar esta igualdad, $ax^2 + bx + c = a(x^2 - (r_1+r_2)x + r_1 r_2)$ y obtendremos un sistema de ecuaciones de la forma

$$\left\{\begin{matrix} r_1 + r_2 = -b/a \\ r_1 \cdot r_2 = c/a\end{matrix}\right\}$$

Que aunque no nos ayuda a resolverlo, nos ayuda a entender mejor la ecuación, ya que si sabemos que el resultado son números enteros (como la mayoría de los problemas preparados), que el término independiente $c$ sea el producto de dos números, nos ayuda a pensar en sus divisores, y en la técnica que usaremos más adelante de Ruffini.

Para resolver este problema, vamos a empezar por uno más sencillo.

$$x^2 = 4$$

Aquí tenemos que deshacer el cuadrado aplicando una raíz, pero el cuadraro no es biyectivo, porque $(-2)^2 = (2)^2 = 4$ pero $-2 \neq 2$. Así que tenemos que crear una regla para aplicar la raíz a un cuadrado, que se resume usando la función valor absoluto:

$\sqrt{x^2} = |x|$

Con este resultado, ya tenemos una forma de resolver las ecuaciones de 2º grado incompletas, estos pasos son los típicos una vez llegemos despejemos la ecuación:

$\begin{matrix}x^2 = c \\ \sqrt{x^2} = \sqrt{c} \\ |x| = \sqrt{c} \\ x = \pm \sqrt{c}\end{matrix}$

Entonces el ejemplo $x^2 = 4$ queda así

$\begin{matrix}x^2 = 4 \\ \sqrt{x^2} = \sqrt{4} \\ |x| = 2 \\ x = \pm 2\end{matrix}$

La demostración para la ecuación de Bhaskara para resolver la ecuación general es algo complicada, por lo general se da la fórmula y punto, que es:

$$x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Para quien le parezca interesante cómo se llegó hasta aquí, dejo la demostración más sencilla a partir de cambios de variable:

Partimos de nuestra ecuación	$ ax^2+bx+c=0 $
Dividimos todo entre $a$	$ x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}=0 $
Aplicamos el cambio de variable $2m = \frac{b}{a}$ y $n = \frac{c}{a}$	$ x^2 + 2mx + n = 0 $
Sumamos $ m^2$ para ajustar cuadrados, y pasamos $n$ al otro lado	$ x^2 + 2mx + m^2 = m^2 -n $
Y lo contraemos	$ (x+m)^2= m^2 - n $
Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados	$ x+m = \pm \sqrt{m^2-n} $
Pasasmos restando $m$	$ x = -m \pm \sqrt{m^2-n} $
Deshaciendo la sustitución, $m = b/2a$ y $n = c/a$	$$ x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2- \frac{c}{a}} $$
Y poniendolo bonito nos queda el resultado	$$ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

Este método también se puede usar y es mucho más rápido cuando la ecuación tenga $a=1$, $b$ par y $c$ entero. Es decir, una ecuación $x^2 + 2mx + n = 0$ se tiene que

$$x = -m \pm \sqrt{m^2-n} $$

Finalmente nos queda el último tipo de ecuaciones de segundo grado incompletas, que sacamos a partir de la ley de absorción que dice $0\cdot a = 0$, de forma que: $$a \cdot b = 0 \, \Leftrightarrow \, \left[\begin{matrix} a = 0 \\ b = 0 \end{matrix}\right]_\cup $$ Aplicando esto a las ecuaciones con $c = 0$, obtenemos

$$\begin{matrix} ax^2 + bx = 0 \\ x(ax + b)=0 \, \Leftrightarrow \, \left[\begin{matrix} x = 0 \\ x = -b/a \end{matrix}\right]_\cup \end{matrix}$$

Donde se llega a $x = -b/a $ despenjando la ecuación de primer grado $ax + b = 0$

Polinomios de grado superior, Ruffini

Cuando un polinomio tiene grado mayor que dos, la cosa se complica, porque aunque hay fórmulas para grado 3 y grado 4, como la de Bashkara, son larguísimas, y para grado 5 y superiores no existe fórmula general. Por lo que si tenemos la suerte de que las soluciones sean números enteros (o al menos alguna de ellas), podremos utilizar una técnica que inventó un Ruffini.

Sistema de ecuaciones no lineales

Para resolverlos hay algunos trucos que pueden ayudar bastante.

1. Comprobar si se resuelve fácil por reducción.
2. Si hay algún término de grado 1, despejar ese primero para sustituir en el otro.
3. Si hay varios términos con el grado mínimo, escoger la variable que al sustituir en la otra ecuación tenga también grado mínimo, para hacer menos cuentas

Cambio de variable

La idea del cambio de variable, es utilizar la técnica de los sistemas de ecuaciones, para crear una nueva ecuación estratégica y utilizarla para reducir la ecuación inicial.

La nueva variable se le suele llamar y, t, s ó u dependiendo del contexto. Nosotros usaremos t para el primer caso.

Ecuaciones de 2º grado (c.v.)

Partimos de una ecuación de 2º grado típica $ax^2 + bx + c = 0$, y el cambio de variable nos ayudará a convertirla en una ecuación incompleta, mucho más fácil de trabajar.

Este cambio de variable será $x = t + v_1$ donde $v_1 = \dfrac{-b}{2a}$. Cuando se vean las funciones, geométricamente $v_1$ es la primera coordenada del vértice de la parábola. Pero a nosotros eso no nos sirve todavía.

Bien, hagámoslo con un ejemplo:

$$2x^2 - 5x + 2 = 0$$ Buscamos el vértice, aquí $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$, entonces $v_1 = -b/(2a) = - (-5) / (2 \cdot 2) = 5/4$

Entonces, el cambio de variable es $x = t + v_1 = t + 5/4$. Aplicando sustitución a nuestro sistema (inventado para que sea más fácil)

$$\left\{ \begin{matrix} 2x^2 - 5x + 2 = 0 & (E1) \\ x = t + 5/4 & (E2) \end{matrix} \right\}_\wedge$$

$(E2 \rightarrow E1)$ es
$2 (t + 5/4)^2 - 5(t + 5/4) + 2 = 0$ ;
$2 (t^2 + 5t/2 + 25/16) - 5t - 25/4 + 2 = 0$ ;
$2t ^2 + 25/8 - 17/4 = 0$ ;
$2t^2 = 9/8$ ;
$|t| = \sqrt{9/16}$ ;
$t = \pm 3/4$ ;

Deshaciendo el cambio de variable
$x = 5/4 \pm 3/4$;
$x = 2, 1/2$

Este cambio de variable no es la forma más rápida de resolver este tipo de ecuaciones, pero es muy buen comienzo para después aprender el método para resolver ecuaciones de 3º grado (que esas sí son más fáciles con cambio de variable) y además este cambio es muy útil para hacer integrales del tipo $\int 1/p(x)$ ó $\int 1/\sqrt{p(x)}$ donde p(x) es un polinomio de grado 2