Curvas Diferenciables en $\Bbb{R}^3$

Ecuaciones de una curva

Definimos $X = (x, y, z)$, $C : [a,b ] \subseteq \Bbb{R} \longrightarrow \Bbb{R}^3$, $f, g : D \subseteq \Bbb{R}^3 \longrightarrow \Bbb{R}$ y la usaremos para las diferentes representaciones

Ecuación paramétrica

$$C \quad \equiv \quad X = C(t) = \left( c_1(t),\, c_2(t),\, c_3(t) \right) \quad \equiv \quad \left\{\begin{matrix} x = c_1(t) \\ y = c_2(t) \\ z = c_3(t) \end{matrix}\right\}_\cap \quad ,\ t \in [a,b]$$

Ecuación explícita

Definimos $x, y, z : \Bbb{R} \longrightarrow \Bbb{R}$ $$C \quad \equiv \quad X = C(x) \quad \equiv \quad \left\{\begin{matrix} x = x \\ y = y(x) \\ z = z(x) \end{matrix}\right\}_\cap \quad \equiv \quad \left\{\begin{matrix} y = y(x) \\ z = z(x) \end{matrix}\right\}_\cap$$ Equivalentemente $ X = C(y)$, $ X = C(z)$

Ecuación implícita

$$C \quad \equiv \quad \left\{\begin{matrix} f(X) = 0 \\ g(X) = 0 \end{matrix}\right\}_\cap$$

Puntos singulares

Una recta tiene un punto singular si existe un punto con derivada nula $$ C'(t) = 0 \quad \equiv \quad |\nabla f \,⅄\, \nabla g| = 0$$ En ese caso en ese punto no se puede calcular su vector tangente, y tampoco puede estudiarse normalmente.

Recta tangente

Para obtener la recta tangente nos hace falta un punto de ella, $P = C(t_0) = (p_1, p_2, p_3) \, ,\ t_0 \in \Bbb{R}$ y un vector tangente a la curva $U$. El vector lo obtendremos de diferentes formas dependiendo de como venga la ecuación, y una vez lo tengamos la recta en paramétrica es $$R_T \quad \equiv \quad X = P + t \, U \quad \equiv \quad \left\{\begin{matrix} x = p_1 + t \, u_1 \\ y = p_2 + t \, u_2 \\ z = p_3 + t \, u_3 \end{matrix}\right\}_\cap \quad ,\ t \in \Bbb{R}$$ También puede obenerse la recta tangente de forma implícita como $$(X - P) \,⅄\, U = \vec{0} \quad \equiv \quad \frac{x-p_1}{u_1} = \frac{y-p_2}{u_2} = \frac{z-p_3}{u_3}$$

Ecuación paramétrica

La dirección que toma en ese punto es fácil derivando respecto de t es $U = C'(t_0) = (u_1, u_2, u_3) $

Ecuación explícita

La dirección que toma en ese punto se calcula derivando desde el parámetro, teniendo cuenta que este también se deriva y vale 1. Por ejemplo, respecto de x sería $U = C_x(p_1) = (1,\, y'(p_1),\, z'(p_1)) = (u_1, u_2, u_3) $.

Ecuación implícita

Cambia que $U = \nabla f(P) \,⅄\, \nabla g(P) $ También puede resolverse el sistema derivando respecto a t $x = x(t)$, $y = y(t)$, $z = z(t)$, $$ \left[ \left\{ \begin {matrix} \partial_t f = 0 \\ \partial_t g = 0 \end{matrix} \right\}_{\cap} \right]_{X = P} $$

Vectores

Longitud de arco

$$ lon(C) = l(C) = \int_{t = a}^b |C '(t)|$$

Parametrizado por arco (ppa) $\Gamma(s)$

El parámetro longitud de arco $s(t)$ nos sirve para simplificar las ecuaciones, a que el módulo de la derivada es uno, y así no hay que ir arrastrando tantas cuentas. Para hayarlo tenemos que: $$s(t) = \int_{u=a}^t |C'(u)| $$ Una vez lo obtenemos, podemos modificar la curva $C(t)$ por la ppa $\Gamma(s) = C(s^-(t))$, y así $|\Gamma'(s)| = 1$. Abusando de la notación, como se obtiene la curva a partir de otra, se indica a veces $C(s) = \Gamma(s)$ para no añadir más letras. Yo usaré $\Gamma$ para ver más claro las ecuaciones sin tener que añadir el parámetro.

Ejemplo:

Tenemos la recta más sencilla $C(t) = (t, t, t) ,\, t \in [0, 1] $. Calculamos el parámetro longitud de arco $ s(t) = \int_{u=0}^t |C'(u)| = \int_{u=0}^t \sqrt{3} = t \sqrt{3} $.
Despejamos $s = t \sqrt{3}$ para calcular su inversa $ t(s) = \frac{s}{\sqrt{3}}$ y entonces la usamos para reparametrizar el arco, creando una nueva curva $ \Gamma(s) = C(t(s)) = C \left( \frac{s}{\sqrt{3}}\right) = \left(\frac{s}{\sqrt{3}}, \frac{s}{\sqrt{3}}, \frac{s}{\sqrt{3}}\right)$.
Entonces, la curva parametrizada por arco es $ \Gamma(s) = \left(\frac{s}{\sqrt{3}}, \frac{s}{\sqrt{3}}, \frac{s}{\sqrt{3}}\right)$ donde el parámetro s se mueve en el intervalo multiplicado por la longitud de arco $s \in [0, \sqrt{3}] = [a, b] \cdot lon(C)$.
Pero haciendo abuso de la notación, como se dibuja la misma curva, solo que se repite la letra $\Gamma(s) = C(s)$ quedando:
$C(t) = (t, t, t)$ y $ C(s) = \left(\frac{s}{\sqrt{3}}, \frac{s}{\sqrt{3}}, \frac{s}{\sqrt{3}}\right)$

Triedro de Frenet

Es el conjunto de vectores {T, N, B}. Tambíen se le conoce como referencia de Frenet. Solo existen si $C' \nparallel C''$ la primera y segunda derivada existen y son linealmente independientes (y por tanto, ninguna de ellas cero). Los vectores son normales (tienen módulo 1).

Para calcular las derivadas de una curva hay varios métodos en función de cómo se presente. La forma más fácil es la paramétrica, que $C'(t) = (c'_1 , c'_2, c'_3)$. Pero en las demás formas también se puede. Por ejemplo en la explícita C(x) = (x, y(x), z(x) ) se deriva respecto de x tantas veces como sea $C' = C_x$, y luego se sustituye en el punto.

Para la implícita se puede sacar la primera derivada como $C'(t) = \nabla f(P) \,⅄\, \nabla g(P)$ donde calculamos la t a partir de $C(t) = P$. Pero para calcular derivadas superiores se utiliza uno de estos dos métodos:
1. Si se puede, se pasa a implícita de forma que represente la función alrededor de ese punto, y de ahí se deriva respecto de una derivada (las funciones que salen son más fáciles)
2. Si es difícil pasarla a implícia, se supone que $x = x(t),\, y = y(t), \, z = z(t)$ y entonces se derivan las funciones en función de t, y se despeja el sistema de ecuaciones para los valores que vamos conociendo. $$ \left[ \left\{ \begin {matrix} \partial_t f = 0 \\ \partial_t g = 0 \end{matrix} \right\}_{\cap} \right]_{X = P} \ ; \ \left[ \left\{ \begin {matrix} \partial_{tt} f = 0 \\ \partial_{tt} g = 0 \end{matrix} \right\}_{\cap} \right]_{\begin {matrix} X = P \\ X' = P' \end {matrix}} \ ; \ \left[ \left\{ \begin {matrix} \partial_{ttt} f = 0 \\ \partial_{ttt}g = 0 \end{matrix} \right\}_{\cap} \right]_{ \begin {matrix} X = P \\ X' = P' \\ X'' = P'' \end {matrix}} $$ Pero al ser un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas es un SCI y se pueden obtener varias soluciones, si se quiere obtener los vectores normales, se puede añadir la condición de que la solución tenga módulo 1, y así solo hay 2 soluciones (positiva o negativa).

Vector tangente T

En los vectores dependiendo de si es ppa o no cambia la ecuación, pero finalmente se obtiene el mismo vector. $$T(t) = \frac{C'}{|C'|} \quad \quad T(s) = \Gamma\,' $$ La derivada de la curva puede obtenerse también como $C'(t_0) = \nabla f(P) \,⅄\, \nabla g(P) = (1, y'(p_1), z'(p_1))$

Vector normal N

$$N(t) = \frac{(C' \,⅄\, C'') \,⅄\, C'}{|(C' \,⅄\, C'') \,⅄\, C' |} \quad \quad N(s) = \frac{\Gamma\,''}{|\Gamma\,''|}$$ La concatenación de productos de C es para conseguir que la segunda derivada sea ortogonal (y luego ortonormal). Con la ppa su segunda derivada es directamente ortogonal.

Vector binormal B

$$B(t) = \frac{C' \,⅄\, C''} {|C' \,⅄\, C''|} \quad \quad B(s) = \frac{\Gamma\,' \,⅄\, \Gamma\,''}{|\Gamma\,''|}$$

Fórmulas de Frenét

Curvatura $\kappa$

El vector curvatura K es la segunda derivada de una curva ppa. $$ K = \Gamma\, '' $$ Por otra parte, si tiene que calcularse de forma general para cualquier curva (incluida una ppa), se sabe que tiene la dirección de la normal N, y el módulo se llama curvatura $\kappa$, es decir, $K = \kappa \, N$ siendo $$\kappa(t) = \frac{|C' \,⅄\, C''|}{|C'|^3} \quad \quad \kappa(s) = |\Gamma\, ''|$$

Torsión $\tau$

Indica como está de alabeada (cuanto dista de estar contenida en un plano) una curva ppa. $$\tau(t) = \frac{\left[C', C'' , C''' \right]}{|C' \,⅄\, C''|^2} \quad \quad \tau(s) = \frac{\left[\Gamma\,', \Gamma\,'' , \Gamma\,''' \right]}{|\Gamma\,''|^2}$$

Sea $\Gamma(s)$ una curva ppa, se cumplen las siguientes ecuaciones $$\begin{matrix} T' &=& & \kappa \cdot N & \\ N' &=& - \kappa \cdot T & & + \tau \cdot B \\ B' &=& & -\tau \cdot N & \end{matrix}$$

Planos

Como las ecuaciones de los planos están igualadas a cero, no es necesario que los vectores (tangente, normal y binormal) sean unitarios, ya que puede pasarse multiplicando al otro lado la norma, y desaparecer (siempre que sea regular)

Plano Normal

$$\Pi_N \quad \equiv \quad T \bullet (X-P) = 0 \quad \equiv \quad \left[N, B, X -P \right] = 0 $$ También en paramétricas $X(u, v) = C_0 + u \, C_0'' + v (C_0' \,⅄\, C_0'')$. Además puede calcularse como $\left[\nabla f(P), \nabla g(P), X -P \right] = 0$

Plano Rectificante

$$\Pi_R \quad \equiv \quad N \bullet (X-P) = 0 \quad \equiv \quad \left[B, T, X- P \right] = 0 $$ También en paramétricas $X(u, v) = C_0 + u\, (C_0' \,⅄\, C_0'') + v \, C_0'$

Plano Osculador

$$\Pi_O \quad \equiv \quad B \bullet (X-P) = 0 \quad \equiv \quad \left[T, N, X -P \right] = 0$$ También en paramétricas $X(u, v) = C_0 + u \, C_0' + v \, C_0''$

Circunferencia Osculatriz

En un punto $P = C(t_0) = \Gamma(s_0)$ , es la circunferencia con radio de curvatura $ r = \frac{1}{\kappa}$ y de centro $Q = P + r\,N$.

Teorema fundamental de la teoría de curvas

Existe una sola curva definidas a partir de una curvatura positiva $\kappa > 0$ y una torsión $\tau$, salvo movimiento rígido, en un intervalo [a, b].

Demostración

Tenemos el sistema de ecuaciones de la curva dada por su parámetro arco $\Gamma(s)$ y sabemos por las ecuaciones de frenet que $$\left\{\begin{matrix} \Gamma' = T \\ T' = \kappa N \\ N' = -\kappa T + \tau B \\ B' = -\tau N\end{matrix}\right\}_\cap \quad \textrm{imponemos} \quad \left\{\begin{matrix} |T| = |N| = |B| = 1 \\ T \bullet N = N \bullet B = B \bullet T = 0\end{matrix}\right\}_\cap$$ Además tenemos un punto por el que pasa $\Gamma(s_0) = P$ y el triedro de Frenet en el punto $\{ T(P),\, N(P),\, B(P) \}$

En el caso de una curva plana $\tau = 0$ puede resolverse integrando, siendo la curva $\Gamma(t) = (\gamma_1, \gamma_2)$ tenemos $$\varphi(s) = \int_{u=a}^s \kappa (u) \ , \quad \gamma_1(s) = \int_{u=a}^s cos \, \varphi(s) \ , \quad \gamma_2(s) = \int_{u=a}^s sen \, \varphi(s)$$

Hélice

Es una curva que forma un ángulo constante con una dirección fija en el espacio. $$\frac{\tau}{\kappa} = \frac{1}{tan(\theta)} = cte$$ O también, si su normal es perpendicular a un vector $U$ para todo punto $N \bullet U = 0$

Referencias

Geometría diferencial de curvas y superficies [A Montesdeoca]