Álgebra

Estructuras Algebráicas

Una estructura algebráica está formada por un conjunto C y una operación $\circ$. Dependiendo de las propiedades se le da un nombre u otro. Empecemos viendo todas las propiedades que se pueden tener, y a partir de ahí definimos las estructuras con las siglas y con ejemplos.

Cuerpo

Un cuerpo K está definido por un conjunto C y dos operaciones. Para verlo claro con un ejemplo, pensemos en los números reales $\Bbb{R}$ (otro cuerpo es el de los números complejos $\Bbb{C}$). Entonces, notamos al cuerpo $(\Bbb{R},\, + ,\, \cdot)$ y cumple estas propiedades.

	Suma	Producto
Asociativa (aso)	$a + b = b + a$	$a \cdot b = b \cdot a$
Elemento neutro (neu)	$a + 0 = a$	$a \cdot 1 = a$
Inverso (inv)	$a + (-a) = 0$	$a \cdot a^{-1} = 1$ $\ \ $ $(\forall a \neq 0)$
Distributiva (dis) del producto sobre de la suma	$n \cdot (a + b) = n \cdot a + n \cdot b$
Conmutativa (con)	$a + b = b + a$	$a \cdot b = b \cdot a$

Tenemos que definir más propiedades de los conjuntos y de los elementos. Para una operación cualquiera $\circ$ en la que notamos su elemento neutro como 1 por su parecido a la operación producto $\cdot$, tenemos que

• Un conjunto $(A, \circ)$ es cerrado (cer) si cualquier operación entre elementos no se sale del conjunto $ \forall a,b \in A,\ \ a \circ b \in A $
• Un elemento a es idempotente (idm) si al operar sobre sí mismo da él mismo $a \circ a = a$ , ej: $0 + 0 = 0 \quad$ $0 - 0 = 0 \quad$ $1 \cdot 1 = 1 \quad$ $1 / 1 = 1 \quad$ $ 1^1 = 1 \quad$ $máx\{a, a\} = a \quad$ $mín\{a, a\} = a \quad$ $mcm(a, a) = a \quad$ $mcd(a, a) = a$
• Un elemento $a$ tiene inverso (inv) si existe otro $a^-$ que al operar da el elemento neutro $a \circ a^- = 1 = a^- \circ a$
• Un elemento $c$ es absovente (abs) si operar con él te da siempre él mismo. Los elementos absorventes también se llaman singulares, y los no absorventes regulares $\forall a \in A ,\, c \cdot a = c$, ej: $0 \cdot a = 0 \quad$ $0 / a = 0 \quad$ $mín\{0, n\} = 0 \quad$ $mcd(1, a) = 1$
• Un elemento $a$ es nilpotente (nil) si tras operar varias veces con él mismo da el elemento neutro $\exists n \in \Bbb{N} \, : \, a \circ \stackrel{n}{\ldots} \circ a = 1$ , ej: $0 + 0 = 0 \quad$ $1 \cdot 1 = 1\quad $ $(-1) \cdot (-1) \quad$ $\left(\sqrt{-1}\right)^4 = 1$
• Un elemento $a$ de un semianillo $(A, \oplus, \circ)$ es divisor de cero (dv0) si existe un elemento distinto del elemento neutro de $(A, \oplus)$ que lo notamos 0 por parecido a $(\Bbb{R},\, +, \, \cdot )$ que da 0 $\exists b \neq 0 \in A \, : \, a \circ b = 0$ , ej: en $(\Bbb{Z_6}, +, \cdot) \ 2 \cdot 3 = 0 \quad$

Con estas definiciones podemos definir rápidamente los tipos de conjuntos y sus operaciones. En la definición si no se dice si es o no conmutativo es porque hay de los dos tipos, ya que la conmutatividad siempre puede añadirse, o buscarse un subconjunto que la cumpla (el centro).

Magmas

Cumple: (aso), (neu), (inv)
Un magma o grupoide es un conjunto y una operación que es cerrada $(A, \circ)$.

Ejemplos

Son magmas $(\Bbb{N},\, {}^{\wedge})$, $(\Bbb{Z}^\ast,\, -)$, $(\Bbb{Q}^\ast \setminus \{\pm 1\},\, /)$, $(\Bbb{R}^+ \setminus \{ 1\},\, {}^{\wedge})$

No son cerrados $(\Bbb{N},\, -) \subset \Bbb{Z}$, $(\Bbb{Z}^\ast,\, / )\subset \Bbb{Q}^\ast$, $(\Bbb{Q}^+,\, {}^{\wedge})\subset \Bbb{R}^+$, $(\Bbb{R}^\ast,\, {}^{\wedge})\subset \Bbb{C}$

Semigrupo

Cumple: (aso), (neu), (inv)
Es un magma asociativo.

Ejemplos

Son semigrupos $(\Bbb{N},\, +)$, $(\Bbb{Z}^\ast,\, +)$, $(\Bbb{N} \setminus \{1\},\, \cdot)$

Monoide

Cumple: (aso), (neu), (inv)
Es un semigrupo con elemento neutro.

Ejemplos

Son monoides $(\Bbb{N},\, \cdot)$, $(\Bbb{N}_0,\, +)$

Grupos

Cumple: (aso), (neu), (inv)
Es un monoide con inverso.

Ejemplos

Son grupos $(\Bbb{Z},\, +)$, $(\Bbb{Q}^\ast ,\, \cdot)$

Notas

Para que no sea un magma, hay que buscar un conjunto pequeño y una operación problemática (-, /, ^)
Para que no sea asociativa tienes que buscarte operaciones problematicas
Para que no tenga elemento neutro coges una operación buena (+, ·) y quitas del conjunto el elemento neutro
Para quitarle el inverso solo tienes que hacer el conjunto lo suficientemente pequeño, para la suma le quitas los negativos, y para el producto las fracciones.

Semianillos

Cumple: (dis), (dv0)
$\quad \quad \oplus$ (aso), (neu), (inv) + (con)   (monoide abeliano)
$\quad \quad \otimes$ (aso), (neu), (inv) + (con)   (semigrupo)
Es un grupo con dos operaciones $(A, \oplus, \otimes)$ que están relacionadas por la propiedad distributiva.
Se dice que es un semianillo conmutativo si $\otimes$ es conmutativo
Se dice que es un semianillo unitario si contiene al elemento neutro de $\otimes$
Se dice que es un semianillo de integridad si no tiene divisores de cero

Ejemplos

$(\Bbb{N}_0,\, + ,\, \cdot)$

Anillo

Cumple: (dis), (dv0)
$\quad \quad \oplus$ (aso), (neu), (inv) + (con)   (grupo abeliano)
$\quad \quad \otimes$ (aso), (neu), (inv) + (con)   (semigrupo)
Es un semianillo con el inversos de $\oplus$

Ejemplos

$(\Bbb{Z}_m,\, + ,\, \cdot)$ con m no primo

Dominio de integridad

Cumple: (dis), (dv0)
$\quad \quad \oplus$ (aso), (neu), (inv) + (con)   (grupo abeliano)
$\quad \quad \otimes$ (aso), (neu), (inv) + (con)   (monoide abeliano)
Es un anillo conmutativo unitario y de integridad. Por lo que no tiene divisores de cero (sino sería solo un anillo conmutativo unitario)

Ejemplos

$(\Bbb{Z},\, + ,\, \cdot)$, $(\Bbb{Z}_p,\, + ,\, \cdot)$ con p primo

Cuerpo

Cumple: (dis), (dv0)
$\quad \quad \oplus$ (aso), (neu), (inv) + (con)   (grupo abeliano)
$\quad \quad \otimes$ (aso), (neu), (inv) + (con)   (grupo abeliano)
Aunque el elemento neutro de la primera operación no tiene inverso (por ejemplo, el cero no tiene inverso).

Ejemplos

$(\Bbb{Q},\, + ,\, \cdot)$, $(\Bbb{R},\, + ,\, \cdot)$, $(\Bbb{C},\, + ,\, \cdot)$,

Homomorfismo

Un homomorfismo es una aplicación entre dos magmas o semianillos que conservan la o las operaciones tras la aplicación, es decir, sea $(X, \oplus, \otimes)$ y $(Y, \ast, \circ)$ entonces, un homomorfismo de magmas es $$f: (X, \oplus) \longrightarrow (Y, \ast) \quad \quad : \quad \quad f(x \oplus y) = f(x) \ast f(y)$$ Y un homomorfismo de semianillos, además de esta propiedad, también tiene que cumplir que $$f: (X, \oplus, \otimes) \longrightarrow (Y, \ast, \circ) \quad : \quad f(x \otimes y) = f(x) \circ f(y)$$ Un homomorfismo de semianillos se puede obtener a partir de dos homomorfismos de magmas, que al juntarlos tengan propiedad distributiva.

Ejemplos

$f(x) = (-1)^x \ : \ (\Bbb{Z},\, + ,\, -) \longrightarrow (\{-1, 0, 1\} ,\, \cdot ,\, /)$ porque $f(x + y) = f(x) \cdot f(y) = (-1)^x \cdot (-1)^y = (-1)^{x+y}$ y $f(x - y) = f(x) / f(y) = (-1)^x / (-1)^y = (-1)^{x-y}$

Monomorfismo

Es un homomorfismo inyectivo $$\forall a,b \in X, \ \ f(a)=f(b) \Rightarrow a=b$$ ó su contrarrecíproco $\forall a,b \in A, \ \ a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)$
Para ello es necesario que $|X| \leq |Y|$

Ejemplos

$f(x) = x \ : \ (\Bbb{N},\, +) \longrightarrow (\Bbb{Z},\, +)$

Epimorfismo

Es un homomorfismo sobreyectivo $$\forall y \in Y, \, \exists x \in X \ : \ f(x)=y$$ Para ello es necesario que $|X| \geq |Y|$

Ejemplos

Isomorfismo

Es un homomorfismo biyectivo (inyectivo y sobreyectivo) $$\forall y \in Y \ : \ \exists_1 \ x \in X \ : \ f(x) = y$$ Para ello es necesario que $|X| = |Y|$

Ejemplos

Endomorfismo

Es un homomorfismo que va en sí mismo $f: X \rightarrow X$

Ejemplos

Automorfismo

Es un endomorfismo biyectivo

Ejemplos

Ejemplos